Complex numbers
Complex numbers, or rather the Set of Complex Numbers, are important in quantum mechanics because many of the solutions that describe quantum phenomena require this set in their calculations. And what is complex numbers?🤔
The set of Complexes (Complex Numbers) denoted by (ℂ), is just another numerical set of mathematics that allows values that other sets do not. For example, negative square roots. If you remember your math classes, you might remember the following diagram.
ℚ rational
7/6
-8
-3
2.9
-3
8
-9
4
5
ℤ integers
ℕ natural
0
3
8
9
4
5
ℝ Real
7/6
-15
-3
2.9
ℂ complexes
√-1
2+4i
cos(θ) + i sin(θ)
𝕀 irrational
π
φ
√4
-12/14
0
What this diagram tells us is that the set of complexes encompasses all other values of the other sets. It contains the solutions of Naturals (ℕ), Integers (ℤ), Rationals (ℚ), Reals (ℝ) and Irrationals (𝕀).
To better understand complex numbers have a geometric representation. This set is nothing more than a two-dimensional representation on a Cartesian plane, with the (x) axis representing the ℝ set and the (y) axis representing the Imaginary values (Im). What would these Imaginary numbers be?
The imaginary numbers are simply a subset of the Complexes. To be able to represent the values algebraically of the complex numbers we have to have the combination between these two other subsets. For a better understanding, see the diagram below.
ℂ complexes
ℝ Real
𝕀m Imaginary
7/6
-3
2.9
√4
ℕ
ℤ
ℚ
𝕀
+
So the subset (a subgroup) of the Complexes called the Imaginary Numbers (𝕀m) is represented by:
AND
Yea! Within the imaginary numbers is possible the existence of a square root of negative numbers. The usual notation for imaginary numbers is just the letter (i), and as the above equation shows, there is a relationship of i² being equal to √-1.
So to represent the complex numbers algebraically, the notation is:
︸
Complex Number
︸
real part
︸
imaginary part
Where we remember the last set that we showed above, it matches exactly with the description algebraic of complex numbers. Where (a) and (b) are real numbers ℝ and (i) is part of the imaginary (𝕀m). That is, complex numbers are nothing more than the set of the real ones but with the imaginary solution part as a complementary term. In other words the set the complexes (ℂ) is the set more comprehensive than the Reals ( ℝ) because it adopts more solutions than it.
It is a fact that the nomenclature used by mathematicians for sets can be a bit confusing. Real Numbers and Complex Numbers don't mean that one set "exists in the real world" and the other set is difficult, complicated to work with, that's why they are called complex. No! It has nothing to do with it. But the nomenclature was accepted as such and passed on, despite being dubious in the sense in which they are treated. To understand the real reason why this complex number was needed, let's really understand what a square power of a number is and what it actually represents.
What number multiplied by itself gives 49? Well, we know that 7.7 is equal to 49, but to understand better, let's represent the number 1 on both sides, since multiplying anything by 1 is itself, just to get the idea.
So we can see that if we do the same for any values, whether positive or negative, by the sign rule of the product (-).(-) = + , if we have an always even power we would never have a negative result, right?
Viewing the numbers in one line, we can see that 1x1=1 does not change:
-1
0
1
The same would happen if we do the multiplication with negative numbers, (-1) x (-1) = +1 does not change: The arrow would go to the left (negative axis direction) and return to the positive axis in the same multiplied value.
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
The problem now is, what value we would have multiplied by itself gives us a negative result? How could it be possible to raise a number to an even power like the number 2 and get negative? This is where the idea of Complex and Imaginary numbers comes in. Nothing prevents us from doing a rotation, and creating a second vertical axis with an important characteristic, this axis contains only the imaginary numbers.
i
-1
0
1
-i
_cc781905-5cde-3194-bb3b-136bad5cf58d So now we have a geometric format to represent complex numbers. Complex numbers are a planar representation as shown above, where for a point in the plane two values are required (real axis (ℝ); imaginary axis (𝕀m)). This plane is called as Argand Gauss plane.
Certo, revemos isso tudo até aqui, mas porque mesmo? Bom para entender de onde se deriva a equação de Schrödinger, teríamos que compreender um curso todo de equações diferenciais parciais, que não nos é conveniente aqui. Então estou usando uma analogia associativa com o que você aluno do ensino médio ja deveria ter visto até então. O importante a se relacionar dos números complexos a equação de Schrödinger é que ela mesma resolve uma função chamada complexa! E o que fisicamente queremos extrair desta equação é um valor numérico que ficará claro ao final da sessão "A função de onda quântica". Então dito isso, como então extraímos esse valor que nos interessa dentro da física de uma função complexa?
Como citamos anteriormente a função complexa é composta por uma parte real e uma parte imaginária, a questão é que a parte imaginária não têm um análogo físico, ou uma relação física que a associe ao um resultado de um fenômeno físico, e sim a parte real é a que faz mas sentido em ser usada, uma vez que ja dissemos que a parte imaginária é simplesmente uma abstração matemática para conseguirmos resolver um problema matemático, ela não existe literalmente (me atrevo a dizer que o nome "Imaginário" não foi posto atoa neste termo (i) na matemática). Então para extrairmos o resultado real, fisico, significativo para nós de uma função complexa, nós dizemos que tiraremos o seu módulo! E tomar o módulo de um número complexo tem uma particularidade com o módulo usualmente visto na álgebra convencional demonstrada abaixo:
Onde (z) é um número complexo e (z*) é o complexo conjugado
Quando citamos retirar o módulo de alguma variável, seria multiplicar seu valor por ele mesmo, ou seja, no caso desta função (z) se não fosse complexa, seu módulo seria: |z| = z • z . Mas com os números complexos não são bem assim, o módulo dele é multiplicado pelo seu termo seu mesmo fator mas com sinal trocado, que chamamos de Conjugado na matemática que geralmente é representado com um asterisco acima da variável (*) como mostra a equação anterior e a equação abaixo!
︸
︸
Complexo Conjugado
Complexo Conjugado
E isso é feito pois, a parte imaginária é um abstração matemática para simplesmente resolvermos problemas matemáticos no qual os Reais não têm soluções, como descrito anteriormente na página. E fazendo isso, os termos que contêm a parte imaginária serão cancelados apenas sobrando a solução real que de fato conseguimos representar no mundo físico, real.
Onde já definimos que o fator complexo ao quadrado como:
Sendo assim temos então que o módulo de um número complexo é:
Equação algébrica para o módulo a função complexa (z)
Então como provado, apenas os termos reais da função complexa se mantém quando tomamos o seu módulo. E isso é importante pois é com ele que realmente iremos utilizar para determinarmos os valores reais da função de onda quântica.
Há também um outra relação que aparece também frequente em mecânica quântica, que apenas vamos mostrar, pois a dedução dela é um pouco extensa e que deriva de uma relação semelhante a equação algébrica, mas na forma trigonométrica. Esta relação é a relação de Euler, dada pela seguinte expressão:
Relação trigonométrica da função complexa
Relação de Euler para os números complexos