ارقام مركبة
تعتبر الأعداد المرك بة ، أو بالأحرى مجموعة الأعداد المركبة ، مهمة في ميكانيكا الكم لأن العديد من الحلول التي تصف الظواهر الكمية تتطلب هذه المجموعة في حساباتها. وما هي الأعداد المركبة؟ 🤔
مجموعة المجمعات (الأعداد المركبة) التي يرمز إليها (ℂ) ، هي مجرد مجموعة رياضية أخرى تسمح بقيم لا تسمح بها المجموعات الأخرى. على سبيل المثال ، الجذور التربيعية السالبة. إذا كنت تتذكر صفوف الرياضيات ، فقد تتذكر الرسم التخطيطي التالي.
ℚ عاقل
7/6
-8
-3
2.9
-3
8
-9
4
5
ℤ أعداد صحيحة
ℕ طبيعي
0
3
8
9
4
5
ℝ حقيقة
7/6
-15
-3
2.9
ℂ المجمعات
√-1
2 + 4 ط
كوس (θ) + أنا الخطيئة (θ)
𝕀 غير منطقي
π
φ
√4
-12 / 14
0
ما يخبرنا به هذا الرسم البياني هو أن مجموعة المجمعات تشمل جميع القيم الأخرى للمجموعات الأخرى. يحتوي على حلول المواد الطبيعية (ℕ) والأعداد الصحيحة (ℤ) والعقلانية (ℚ) والحقيقية (ℝ) واللامعقلانية (𝕀).
لفهم الأعداد المركبة بشكل أفضل ، يكون لها تمثيل هندسي. هذه المجموعة ليست أكثر من تمثيل ثنائي الأبعاد على مستوى ديكارتي ، حيث يمثل المحور (x) المجموعة ℝ ويمثل المحور (y) القيم التخيلية (Im). ماذا ستكون هذه الأرقام التخيلية؟
الأرقام التخيلية ببساطة مجموعة فرعية من المجمعات. لتكون قادرًا على تمثيل قيم الأعداد المركبة جبريًا ، يجب أن يكون لدينا الجمع بين هاتين المجموعتين الفرعيتين الأخريين. لفهم أفضل ، انظر الرسم البياني أدناه.
ℂ المجمعات
ℝ حقيقة
𝕀 م خيالي
7/6
-3
2.9
√4
ℕ
ℤ
ℚ
𝕀
+
لذلك يتم تمثيل المجموعة الفرعية (مجموعة فرعية) من المجمعات التي تسمى الأرقام التخيلية (𝕀m) من خلال:
و
نعم! ضمن الأعداد التخيلية المستطاع وجود جذر تربيعي للأرقام السالبة. الترميز المعتاد للأرقام التخيلية هو الحرف (i) فقط ، وكما توضح المعادلة أعلاه ، هناك علاقة من i² تساوي √-1.
إذن لتمثيل الأعداد المركبة جبريًا ، يكون الترميز هو:
︸
عدد مركب
︸
جزء حقيقي
︸
الجزء الخيالي
عندما نتذكر المجموعة الأخيرة التي أظهرناها أعلاه ، فإنها تتطابق تمامًا مع الوصف جبري من الأعداد المركبة. حيث (أ) و (ب) أرقام حقيقية ℝ و (ط) جزء من وهمي (ميكرومتر). وهذا يعني أن الأعداد المركبة ليست أكثر من تعيين الحقيقي ولكن مع جزء الحل التخيلي كمصطلح تكميلي. بمعنى آخر تعيين المجمعات (ℂ) هي المجموعة الأكثر شمولاً من Reals ( ℝ) لأنها تتبنى حلولاً أكثر منها.
إنها حقيقة أن التسمية يمكن أن يكون استخدامها من قبل علماء الرياضيات للمجموعات مربكًا بعض الشيء. لا تعني الأعداد الحقيقية والأرقام المركبة أن مجموعة واحدة "موجودة في العالم الحقيقي" وأن المجموعة الأخرى مجموعة صعبة ، ومعقدة للعمل معها ، ولهذا يطلق عليها اسم معقدة. رقم! لا علاقة له بها. ولكن تم قبول التسمية على هذا النحو وتم نقلها ، على الرغم من كونها مشكوك فيها بالمعنى الذي يتم التعامل معه. لفهم السبب الحقيقي وراء الحاجة إلى هذا العدد المركب ، دعونا نفهم حقًا ماهية القوة التربيعية للرقم وما يمثله في الواقع.
ما العدد المضروب في نفسه فيحصل على 49؟ حسنًا ، نعلم أن 7.7 يساوي 49 ، لكن لفهم أفضل ، دعنا نمثل الرقم 1 في كلا الطرفين ، نظرًا لأن ضرب أي شيء في 1 هو نفسه ، فقط للحصول على الفكرة.
لذلك يمكننا أن نرى أنه إذا فعلنا الشيء نفسه مع أي قيم ، سواء كانت موجبة أو سالبة ، من خلال قاعدة إشارة المنتج (-). (-) = + ، إذا كانت لدينا دائمًا قوة زوجية فلن يكون لدينا نتيجة سلبية أبدًا ، الصحيح؟
عند عرض الأرقام في سطر واحد ، يمكننا أن نرى أن 1 × 1 = 1 لا يتغير:
-1
0
1
سيحدث نفس الشيء إذا فعلنا عمليه الضرب بأرقام سالبة ، (-1) x (-1) = +1 لا يتغير: يذهب السهم إلى اليسار (اتجاه المحور السلبي) ويعود إلى المحور الموجب بنفس القيمة المضاعفة.
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
المشكلة الآن ، ما هي القيمة سيكون لدينا مضروبًا في نفسه يعطينا نتيجة سالبة؟ كيف يمكن رفع رقم لقوة زوجية مثل الرقم 2 والحصول على سالب؟ هذا هو المكان الذي تأتي فيه فكرة الأرقام المعقدة والخيالية. لا شيء يمنعنا من القيام بالدوران ، وإنشاء محور رأسي ثان بخاصية مهمة ، هذا المحور يحتوي فقط على أرقام تخيلية.
أنا
-1
0
1
-أنا
_cc781905-5cde-3194-so bad5cfometric يمثل الأرقام المركبة هي تمثيل مستو كما هو موضح أعلاه ، حيث يلزم وجود قيمتين لنقطة على المستوى (المحور الحقيقي (ℝ) ؛ المحور التخيلي (𝕀m)). هذه الطائرة تسمى طائرة Argand Gauss.
Certo, revemos isso tudo até aqui, mas porque mesmo? Bom para entender de onde se deriva a equação de Schrödinger, teríamos que compreender um curso todo de equações diferenciais parciais, que não nos é conveniente aqui. Então estou usando uma analogia associativa com o que você aluno do ensino médio ja deveria ter visto até então. O importante a se relacionar dos números complexos a equação de Schrödinger é que ela mesma resolve uma função chamada complexa! E o que fisicamente queremos extrair desta equação é um valor numérico que ficará claro ao final da sessão "A função de onda quântica". Então dito isso, como então extraímos esse valor que nos interessa dentro da física de uma função complexa?
Como citamos anteriormente a função complexa é composta por uma parte real e uma parte imaginária, a questão é que a parte imaginária não têm um análogo físico, ou uma relação física que a associe ao um resultado de um fenômeno físico, e sim a parte real é a que faz mas sentido em ser usada, uma vez que ja dissemos que a parte imaginária é simplesmente uma abstração matemática para conseguirmos resolver um problema matemático, ela não existe literalmente (me atrevo a dizer que o nome "Imaginário" não foi posto atoa neste termo (i) na matemática). Então para extrairmos o resultado real, fisico, significativo para nós de uma função complexa, nós dizemos que tiraremos o seu módulo! E tomar o módulo de um número complexo tem uma particularidade com o módulo usualmente visto na álgebra convencional demonstrada abaixo:
Onde (z) é um número complexo e (z*) é o complexo conjugado
Quando citamos retirar o módulo de alguma variável, seria multiplicar seu valor por ele mesmo, ou seja, no caso desta função (z) se não fosse complexa, seu módulo seria: |z| = z • z . Mas com os números complexos não são bem assim, o módulo dele é multiplicado pelo seu termo seu mesmo fator mas com sinal trocado, que chamamos de Conjugado na matemática que geralmente é representado com um asterisco acima da variável (*) como mostra a equação anterior e a equação abaixo!
︸
︸
Complexo Conjugado
Complexo Conjugado
E isso é feito pois, a parte imaginária é um abstração matemática para simplesmente resolvermos problemas matemáticos no qual os Reais não têm soluções, como descrito anteriormente na página. E fazendo isso, os termos que contêm a parte imaginária serão cancelados apenas sobrando a solução real que de fato conseguimos representar no mundo físico, real.
Onde já definimos que o fator complexo ao quadrado como:
Sendo assim temos então que o módulo de um número complexo é:
Equação algébrica para o módulo a função complexa (z)
Então como provado, apenas os termos reais da função complexa se mantém quando tomamos o seu módulo. E isso é importante pois é com ele que realmente iremos utilizar para determinarmos os valores reais da função de onda quântica.
Há também um outra relação que aparece também frequente em mecânica quântica, que apenas vamos mostrar, pois a dedução dela é um pouco extensa e que deriva de uma relação semelhante a equação algébrica, mas na forma trigonométrica. Esta relação é a relação de Euler, dada pela seguinte expressão:
Relação trigonométrica da função complexa
Relação de Euler para os números complexos