تحليل معادلة شرودنجر
النهج الأولي
من أجل إعطاء فكرة رياضية أوضح عما يخبرنا به Eq.Schrödinger ، دعونا نجري تحليلًا أساسيًا للمعادلة ، بعد كل هذا هو الموضوع الرئيسي للموقع ولا نترك الموضوع غامضًا جدًا بالنسبة للصفحة السابقة و ليست متعمقة للغاية في هذه الصفحة ، لأن فهم اكتمال المعادلة يتطلب مفهوم التفاضل والتكامل ، حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات و المعادلات التفاضلية الجزئية والأعداد المركبة.
الغرض هنا ليس معرفة كيفية حل المعادلة نفسها ، ولكن لعمل نهج الأساسي من حساب التفاضل والتكامل المذكور أعلاه ، دون الخوض في المفاهيم الموجودة فيه والخوض أكثر قليلاً في المفاهيم ذات الصلة بالجبر الأولي وما قبل حساب التفاضل والتكامل ، للبقاء كما صافي المستطاع سنقدم أمثلة لكل مفهوم لتسهيل فهم ما نريد تقديمه حول شرح Eq.Schrödinger.
1) ما هو حساب التفاضل والتكامل؟
حساب التفاضل والتكامل ، والذي سنسميه حساب التفاضل والتكامل فصاعدًا ، يغطي كل الآخرين الحسابات المذكورة أعلاه. الحساب ظهرت في حاجة إلى إنشاء أداة أكثر دقة و التحليلات عن بعض الظواهر التي كانت تدرس في العصور القديمة ، كان إسحاق نيوتن من بين الذين ساهموا في إنشائها ، كما ذكرنا في مراجعة الميكانيكا. وآخر أيضًا ساهم بالنسبة لحساب التفاضل والتكامل مع نيوتن كان لايبنيز.
استخدم نيوتن أحد هذه الاحتياجات في دراسة الأجرام السماوية في نظريته في الجاذبية وقوانينه الثلاثة للميكانيكا. كانت المشكلة ... كيف يمكنني قياس الأجسام في حالة حركة ثابتة بالنسبة لبعضها البعض ببساطة باستخدام الجبر؟ فكر في مدى تعقيد وصف حركة النجم إذا كان يغير موقعه كل يوم وكل يوم يتعين عليك إعادة معايرة المعدات ، وإعادة الحسابات التالية ... ببساطة لم يتعامل الجبر التقليدي مع هذه المشكلات والعديد من المشكلات الأخرى عندما كان حركة أي جسم ، ليس بنفس الدقة وفي بعض الحالات لم يكن لديه حل ، وهو بالضبط ما أراد نيوتن فعله. ثم بدأ نيوتن في العمل على الرياضيات و وجدت شيء رائع وله طابع هندسي للغاية ويسهل رؤيته.
المفهوم الأول الذي نتعلمه في دورة حساب التفاضل والتكامل هو مفهوم الحد ! بطريقة تعليمية أسمي هذا العامل "مقياس Aproximometer".
أعرف ما الذي يجب أن تفكر فيه الآن ... "الحد؟" المشغل؟ ". اهدأ! لنبدأ بشرح ما يعنيه عامل التشغيل بطريقة عامة في الرياضيات. فهم عامل التشغيل ببساطة على أنه أداة جبرية لمعالجة القيم ، و في بعض الحالات "المعلمات" في الجبر لدينا 4 عوامل أساسية معروفة أنت بالفعل على دراية بها.
أ) لدينامشغل SUM ، وما تملكه الرموز هو (+): على سبيل المثال:
نحن نأخذ قيمة أي قيمة A وأي قيمة أخرى B ونقوم بتشغيلها (التلاعب بها ...) بقاعدة مجموع (مشارك / صلة) والتي تعطينا قيمة أخرى C نتيجة لذلك. مثال
أو
يمكن إجراء نفس القياس مع باقي العوامل التي تعرفها بالفعل ، عامل التشغيل (الطرح (-) ؛ القسمة (÷) والضرب (×)) خاص به قواعد "التعامل" مع القيم والمعلمات.
على عكس عوامل الجبر الأولية ، لا يعمل عامل التشغيل Limit مع الأرقام ، ولكن مع قيم الوظائف ! نعم! 😂 دعونا نرى هذا المفهوم مرة أخرى من الآن فصاعدًا ، وهو أحد المفاهيم إن لم يكن الأكثر أهمية في التفاضل والتكامل.
ب) الوظائف: أعتقد أن الكثيرين منكم عندما بدأت في دراسة هذا الموضوع في الرياضيات لم يأخذوه على محمل الجد كما ينبغي. دعونا نجعل ضربة فرشاة جيدة على مفهوم الوظيفة والمفاهيم المهمة ل يتم فهمها داخل الموضوع. البدء بفكرة Domino للوظيفة (𝔻).
أعرف الآن مراجعة هذا يبدو أنه لن يكون له أي معنى مع تفسير Eq.Schrödinger. صدقني ، ستفعل الكثير ، لأنه ليس لدينا هدف معرفة كيفية الحساب عدديا المعادل. ولكن لفهم تداعياته وما يصفه في الواقع ، وسواء أحببنا ذلك أم لا ، فإن المفهوم الحدسي بأكمله يدور حول مجال الدالة الموجية التي نتحدث عنها كثيرًا. لهذا يجب أن يكون لدينا فكرة واضحة عن هذا المفهوم لفهم العوامل التي هم انهم في التعبير الذي خلفيا سنتحدث عن أحد المواضيع حول الأعداد المركبة.
لذلك دعونا نبدأ في تحديد بعض المفاهيم المهمة:
● ما هو دومينو؟ مجال الوظيفة ليس أكثر من مجموعة من القيم التي تلبي حل وظيفة معينة.
● ما هي الوظيفة؟ إنه تمثيل رياضي نقوم به لربط القيم من مجموعة عددية إلى أخرى ، عند التلاعب بها أو عدم التلاعب بها في مجموعة من القيم. العمليات مثل (الجمع ، القسمة ، الجذر ، إلخ).
دعنا نعطي بعض الأمثلة عن سبب مراجعة هذه المفاهيم أهمية. للبدء ، دعنا نرى 3 أنواع من الوظائف لنكون قادرين على تجسيد تطبيق دراسة المجال.
● الوظيفة الخطية (مكافئ مستقيم) :
هذه واحدة من أبسط الوظائف التي تعلمناها في المدرسة ، وظيفة الدرجة الأولى (معادلة الخط). نحن نعلم أن (أ) و (ب) ثوابت ، أي القيم التي لا تتغير والمعامل الوحيد الذي يمكن أن يكون له قيم مختلفة هو متغيرنا (س). الآن ، لتحليل مجال هذه الوظيفة ، علينا أن ننظر فيما إذا كانت الوظيفة تتطلب أي قيود جبرية. في هذا تحديدًا لا توجد قيود لأن أي قيمة نضعها في (س) سيكون لها حل. سنستخدم الترميز الأكثر شيوعًا لتمثيل المجالات.
وهذا يعني أن (x) موجود في جميع الأعداد الحقيقية. كمثال ، لنفترض أن أ = 1 و ب = 0 ونعرض هذه الوظيفة على الرسم البياني. لأي قيمة لـ (س) [المحور الأفقي] سيكون لدينا قيمة مرتبطة بالمحور (ص) [المحور على عمودي].
● الوظيفة العقلانية : الوظيفة عاقل هي نوع آخر من الوظائف التي يجب أن نتذكرها لأن هناك قيدًا ليس لدينا حل فيه.
الوظيفة الكسرية ليست أكثر من وظيفة تتكون من وظيفتين أخريين مقسومة على الأخرى ، مع تقييد h (x) ≠ 0 ، لأنه لا يوجد حل للقسم مع 0. لفهم ، دعونا نرى المثال:
لاحظ أن f (x) تتكون من وظيفتين أخريين. g (x) = x + 3 و h (x) = x-3 ، تذكر أن القسمة لا يمكن أن يكون لدينا قسمة على 0. لذا لإيجاد نطاق من هذه الوظيفة (أي نطاق القيم التي يوجد فيها حل للوظيفة نفسها) هو ...
هذا يعني أن القيمة الوحيدة التي لا يمكن أن تأخذها h (x) لكي يحترم المقام قيد دالة عقلانية ، أي أنه لا يمكننا القسمة على 0 ، (x) يمكن أن تأخذ أي قيمة باستثناء 3. يجب أن تكون مختلفة عن 3. كتابة المجال ، لدينا:
يساعدنا تحليل مجال الوظيفة على إدراك أنه من خلال تقييد وجود حلول للدالة المنطقية ، نعلم أنه لا يوجد حل بالضبط عند القيمة 3. ماذا يعني عدم وجود حل؟ انظر إلى الرسم البياني نفسه ، عند النقطة x = 3 حيث تنتقل الدالة h (x) إلى الصفر ، و ملك الوظيفة f (x) لا تلمس هذه النقطة. أي أنه لا يوجد حل لـ f (x) عندما x = 3 ، وليس في مجموعة Reais (ℝ) على الأقل.
الوظيفة الأخيرة التي سنراها وليس أقلها هي الوظيفة الأكثر أهمية التي ربما يتعين علينا فهمها.
● وظيفة الجذر : الوظيفة مصدر أيضا هي واحدة من عدة وظائف لها قيود معينة على الوجود. كما رأيت بالفعل ، لا يوجد جذر تربيعي بأرقام سالبة ، فقط أرقام موجبة.
لذلك لتحديد مجال دالة الجذر التربيعي ، سنكون مع:
النقطة التي نريد التأكيد عليها هي أن دالة الجذر التربيعي ، باعتبارها معكوسًا للدالة التربيعية ، لا تقبل القيم السالبة ، لأن أي رقم مرفوع إلى المربع أو إلى أي أس زوجي سيكون دائمًا موجبًا في المجموعة الريال (ℝ)). تكمن المشكلة في أن الجذور التربيعية يمكن أن تقبل الأرقام السالبة ، لكنها ليست جزءًا من مجموعة الأعداد الحقيقية (ℝ) ، لأنه لا يوجد اتساق لمثل هذا الحل فيها ، لذلك لاحظ علماء الرياضيات على مر السنين بداية مجموعة أخرى من عالم الرياضيات من يعترف بالأرقام السالبة في الجذور ، فإن تعيين من الأعداد المركبة (ℂ). سنشرح المفهوم في الصفحات ما هو تعريف الأعداد المركبة.