Analisando a equação e Schrödinger
Finalmente chegamos a parte que nos interessa de fato! Como citado anteriormente, o objetivo nesta etapa não é fazer o aluno de ensino médio saber resolver as equações envolvidas na mecânica quântica pois para isso, seria necessário um curso completo dos seguintes assuntos. (Listarei o que se precisa saber para calcular estas equações e resolve-las sem muita dificuldade ao final da página na aba "Matemática necessária para a Mecânica Quântica", apenas para os curiosos e interessados).
Então vamos analisar a equação de Schrödinger parte a parte e compreender o que os termos significam e o que a equação descreve!
Equação de Schrödinger para uma dimensão dependente do tempo (1D)
O primeiro fator descreve que a energia total do sistema se mantém a mesma (princípio da conservação da energia) e ao mesmo tempo como esta função de onda Ψ(x,t) evolui no tempo, ou seja, como esta função de onda se manifesta, ou se propaga a medida que o tempo passa como ela "evolui" que é representado pelo seguinte operador diferencial:
Este termo parecendo uma letra d arredondada que acompanha a função de onda Ψ (x,t) é um operador diferencial parcial, e ele representa exatamente este conceito de "taxa de variação", em cálculo diferencial estes operadores nos informam o quanto um parâmetro ou no nosso caso, na física uma grandeza física varia com relação ao termo indicado abaixo (t), que para nós representa o parâmetro do tempo. Isso significa que cada instante de tempo a minha função de onda se modifica, não permanece a mesma, mas suas grandezas físicas relacionadas do outro lado da igualdade se mantêm constantes. Os temos a esquerda deste operador são apenas constantes numéricas que ja apresentamos nas páginas anteriores:
Número imaginário
Constante de Planck reduzida (S.I)
A segunda parte da equação descreve a energia cinética associada a partícula, e isso se deve pelo operador diferencial de segunda ordem depender dar coordenada x. Isso significa que este termo representa o deslocamento da partícula, velocidade ou momento linear associado a ela. Em outras palavras, se a primeira derivada dependia do tempo, ou seja, representava a evolução temporal da função de onda, este termo representa então a evolução espacial da função de onda.
O termo quadrado acima e em baixo do operador diferencial parcial não tem o significado real da potência de dois. É uma notação utilizada neste operador para representar que foi aplicado a derivação na função de onda Ψ(x,t) duas vezes. Esta equação que estamos representando aqui é a forma mais simples, no qual descreve o comportamento de uma partícula apenas em uma dimensão. Você pode encontrar a mesma equação de Schrödinger descrita de uma maneira mais genérica, no qual descreve o comportamento da partícula nas três dimensões espaciais (o espaço todo), no qual este termo diferencial de segunda ordem pode ser representando da seguinte maneira:
Equação de Schrödinger para três dimensões dependente do tempo (3D)
Onde o operador diferencial aplicado a função de onda em vermelho representa as derivadas parciais em todas dimensões/ direções do espaço. Isso significa que esta equação descreve o comportamento da partícula em todo o espaço nas coordenadas (x,y,z) e não somente a uma direção específica (x), no qual recebe o nome de "Operador Laplaciano" e ele é representado da seguinte forma:
Operador Laplaciano para as três dimensões (3D)
Operador Laplaciano para as três dimensões (3D) aplicado à função de onda
O último e o mais simples de descrever da equação é o termo potencial da equação de Schrödinger. Ele representa o campo no qual uma partícula pode estar imersa, isso é importante pois grande parte das partículas quânticas exceto o nêutron tem carga associada, e particulas com carga interagem com campo elétrico, campo magnético. E também possuem massa, e sendo assim também interagem com o campo gravitacional, mas este devido as massas de partículas comparadas com a massa do planeta Terra são completamente desprezíveis, e geralmente não é levado o campo gravitacional em conta.
Um exemplo de potencial que geralmente é tratado em mecânica quântica usando a equação de Schrödinger é o caso do elétron orbitando um núcleo atômico. O núcleo é composto de prótons e nêutrons , prótons carregados positivamente e neutros sem carga, isso significa que o núcleo é positivamente carregado e com isso ele gera um campo elétrico que irá interagir com o elétron da eletrosféra podendo então interferir seu comportamento e vice-versa, o elétron por ser carregado também negativamente gerando um campo elétrico que também irá interagir com o núcleo do átomo. Isso é claro estamos apenas considerando o átomo mais simples que conhecemos até hoje no universo, o átomo de Hidrogênio. Pois ele tem apenas um elétron, um próton e um neutron. Para outros elementos químicos, vários outros fatores devem ser levando em conta e o problema para se descrever átomos com mais elétrons se torna relativamente difícil.
Podemos então comparar a equação de Schrödinger como uma a versão muito mais sofisticada da equação da conservação da energia mecânica vista na mecânica clássica (física clássica), onde a variação da energia mecânica é a soma das energias cinéticas e as energias potenciais do sistema. Ou seja o princípio da conservação da energia:
Termo que define que a energia total do sistema permanece o mesmo
Termo que define que a energia Energia cinética do sistema
Termo que define que a energia Energia potencial do sistema
Então saber descrever estas principais características de um sistema físico, Energia cinética e Energia potencial, são todos os fatores necessários para conseguirmos prever um comportamento físico de um corpo qualquer, dado obviamente de antemão algum conhecimento inicial do corpo que estamos estudando, como posição inicial, velocidade inicial, etc. Mas lembrando, esta previsão a que referimos mecânica quântica não é um previsão de 100%, toda as medidas e deduções de como a função de onda se comporta estão atreladas aos princípios fundamentais que vimos até aqui, Princípio da incerteza de Heisenberg, dualidade da onda-matéria de de Broglie e a interpretação mais aceita na comunidade científica o que Ψ(x,t) representa, uma função de probabilidade, que será melhor descrito na sessão seguinte, "O que é uma função de onda Quântica?".