Revisão dos Conceitos de Ondulatória
Para entendermos com clareza o que a função de onda descreve, devemos entender primeiramente o que é uma onda e porque este conceito é relacionado a Mecânica Quântica
Na física há 2 tipos de ondas que conhecemos até hoje: Ondas mecânicas (que dependem de um meio para se propagar, como ar, gases, água, matéria em geral. E ondas eletromagnéticas (não dependem de um meio para se propagar, não é necessário interagir com a matéria para perturbar o meio, podem se locomover no vácuo.)
1) Ondas Transversais e Longitudinais: Transversais (seu modo de oscilação é vertical, de cima para baixo, ou vice-versa). Ondas Longitudinais ( seu modo de oscilação é horizontal, se propaga da direita para esquerda ou vice-versa).
2) Ondas Eletromagnéticas (São uma combinação de ondas transversais do campo elétrico (em vermelho) + magnético(em azul) = eletromagnético).
O tipo de onda que iremos focar aqui será as ondas transversais, pois nesse modelo ao qual a função de onda quântica, as onda eletromagnéticas e outras ondas mecânicas são geralmente descritas.
As grandezas que caracterizam uma onda é a frequência (𝑓), o comprimento de onda (𝜆), o período (T) e a amplitude (A). Como ja vimos anteriormente numa breve revisão em eletromagnetismo, frequência e comprimento de onda são inversamente proporcionais, ou seja, se a frequência (𝑓) aumenta então o comprimento de onda diminui e vice-versa.
Vamos começar definindo o comprimento de onda (𝜆). Para determinarmos o 𝜆 de uma onda transversal, pegamos de uma crista a outra, ou simplesmente de um vale a outro ou dependendo do caso até o eixo de simetria (equilíbrio). Isso nos diz que 𝜆 representa um ciclo completo, uma volta completa. Isso significa que se contamos nosso 𝜆 a partir de uma crista, quando a onda desenvolver todo seu movimento até voltar aquele mesmo "pico" que chamamos de crista, é um movimento periódico, que se repete com as mesmas característica a partir de um referencial
Sabendo disso devemos lembrar que 𝜆 não é medido em graus e sim radianos. Uma convenção para facilitar os cálculos, pois temos funções com características periódicas na matemática como as funções Seno (Sen(x)) e Cosseno (Cos(x)). Por isso iremos envolver diretamente a trigonometria e o círculo trigonométrico para cosenquirmos associar melhor como ele descreve uma onda.
A primeira imagem mostra a metragem no eixo de equilíbrio da seguinte forma 0º, 90º (𝜋/2), 180º (𝜋), 270º (3𝜋/2) e 360º (2𝜋). A referencia que tomamos para medir o comprimento de onda nesta primeira imagem é exatamente o eixo de simetria (equilíbrio) pois é onde começamos a medir a onda. Então 1𝜆 completo é igual à 360º (2𝜋), ou seja, um ciclo completo. Isso significa que se a onda continuasse a se propagar ela iria se repetir infinitamente apartir daquele ponto de simetria que tomamos como referencia para medir o 𝜆.
A segunda imagem nos ajuda a visualizar exatamente como o circulo trigonométrico descreve uma onda. Com isso precisamos definir outras grandezas para entendermos como descrever por completo uma onda. A segunda característica que vamos tratar mostrada na imagem anterior as duas acima é a Amplitude.
A Amplitude é um valor que nos diz a distância entre o eixo de simetria até a crista e do eixo de simetria até o vale. Como a onda é um fenômeno oscilante e seu eixo de simetria é o marco 0 do nosso referencial, a amplitude varia o seu valor do positivo ao negativo ou vice-versa.
Outro parâmetro importante que precisamos ter para descrever uma onda é o Período e a Frequência da onda. Ambos estão relacionados um ao outro, pois o período é o inverso da frequência e vice-versa.
-
Frequência: É a quantidade ou número de ciclos completos realizados em um intervalo de 1 segundo. Sua unidade é dada em Hertz (Hz)
f- frequência; T- período; 𝜔 - frequência angular
A imagem abaixo mostra a relação de uma onda com uma frequência baixa e uma onda com uma frequência alta, o número de ciclos completos em uma onda de frequência baixa é menor que o número de ciclos completos em uma onda de frequência alta.
Perceba que se aumentarmos a frequência de uma onda estamos diminuindo outro parâmetro também, que ja vimos no efeito fotoelétrico. Se uma onda de frequência baixa tem um número menor de ciclos completos em 1 segundo, isso quer dizer que o 𝜆 é um característico. Agora se aumentarmos a frequência da onda consequentemente os ciclos aumentam no mesmo intervalo de tempo de 1 segundo, sendo assim 𝜆 diminui. Podemos assim concluir que se 𝑓 aumenta então 𝜆 diminui, ou seja, são inversamente proporcionais.
-
Período: É a quantidade de tempo necessário para que um corpo qualquer complete uma volta , um ciclo. Em outras palavras o tempo gasto para um corpo dar uma volta completa. Sua unidade é dada em Segundos (s). Como sabemos período e frequência são relações inversas, a equação fica como:
⚠︎ OBS: Pode parecer confuso para aqueles que não perceberam, aparentemente 𝜆 e T são iguais, ou parece que são. CUIDADO! NÃO SÃO! 𝜆 tem unidade de metros (m) no S.I (Sistema Internacional) ele nos diz de onde começa nossa onda e até onde "termina", se consideramos a onda finita. Simplesmente nos caracteriza o que é um começo e fim de uma onda no espaço. Agora o período T tem dimensão de tempo no S.I , que é dado em segundos (s), ou seja, ele nos mostra quanto tempo leva para a onda completar 1 ciclo, uma volta completa, em outras palavras 𝜆. Então T nos diz quanto tempo levou para chegar ao "fim"da onda, (ou seja, onde se analisasse-mos ela novamente se propagasse a partir dali, ela iria se repetir novamente daquele mesmo ponto).
-
Frequência angular: mede a rapidez em que o ângulo de fase é percorrido. O ângulo de fase corresponde à posição do corpo em oscilação. Em outras palavras o quão rápido um ciclo é completo. A unidade de 𝜔 no S.I é radianos por segundo (rad/s). Podemos definir 𝜔 em função de 𝑓 ou de T. Veja:
Definimos até aqui os principais parâmetros que precisamos para definir uma onda em física. Agora vamos definir o que chamamos de função de onda, ou seja, a função horária da onda como fizemos em cinemática. Mas para entendermos claramente o que a função de onda esta descrevendo, vamos olhar uma definição mais precisa de onda na forma conceitual. Onda nada mais é que uma perturbação no meio transferindo energia de um ponto a outro. Ondas não deslocam matéria apenas energia. Vejamos por exemplo a animação abaixo:
Veja a primeira imagem. Quando tratamos da função de onda o que na verdade queremos saber é exatamente onde aquele ponto preto esta. Perceba que este ponto a cada instante de tempo oscila, ou seja, sua posição referente ao eixo y varia com o tempo. Para definirmos agora uma onda propriamente dito, temos que imaginar estes mesmo ponto distribuído por toda a onda como na segunda imagem, ambas as imagens respeitam a definição de onda que fizemos anteriormente. Veja que os pontos não se deslocam no eixo X e sim a perturbação de uma onda que se propaga no espaço que definimos como onda. Os pontos apenas sobem e desce sucessivamente. E para fazermos isso matematicamente, a função de onda precisará de 2 variáveis. A variável x que nos mostrará em que ponto do espaço a onda está e a variável t de tempo, para sabermos em que instante de tempo ela se encontra em x.
A - amplitude; t - tempo; 𝜔 - frequência angular; 𝜙 - ângulo de fase
Perceba que a equação tem praticamente todos os parâmetros que vimos que descrevem a onda. A amplitude (A) descrevendo a distnacia da crista e do vale do eixo de simetria (equilíbrio), o fator (𝜔t) que nos diz quão rápido um ciclo se completa e o último que não citamos ainda é o (𝜙) chamado ângulo de fase, podemos associar ele como o (So) posição inicial da equação horária na cinemática, eles nos informa em que angulo estamos começando analizar a onda e como ela inicia seu movimento. Todos estes parâmetros são suficientes para descrever uma onda se propagando pelo espaço.
Podemos agora entender melhor o que uma função de onda descreve e o que ela de fato analisa, e suas principais características. Estamos aptos agora a fazer o estudo da função de onda e suas peculiaridades com relação a função de onda clássica.