ตัวเลขที่ซับซ้อน
ตัวเลขเชิงซ้อน หรือชุดของจำนวนเชิงซ้อน มีความสำคัญในกลศาสตร์ควอนตัม เนื่องจากโซลูชันจำนวนมากที่อธิบายปรากฏการณ์ควอนตัมต้องใช้ชุดนี้ในการคำนวณ แล้วจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร🤔
ชุดของจำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) ที่เขียนด้วย (ℂ) เป็นเพียงชุดตัวเลขทางคณิตศาสตร์อีกชุดหนึ่งที่ให้ค่าที่ชุดอื่นไม่มี ตัวอย่างเช่น รากที่สองที่เป็นลบ หากคุณจำชั้นเรียนคณิตศาสตร์ของคุณได้ คุณอาจจำแผนภาพต่อไปนี้ได้
ℚ ราซิโอไนส์
7/6
-8
-3
2.9
-3
8
-9
4
5
ℤ จำนวนเต็ม
ℕ ธรรมชาติ
0
3
8
9
4
5
ℝ Reais
7/6
-15
-3
2.9
ℂ Complexes
√-1
2+4i
cos(θ) + ฉันบาป (θ)
𝕀 Irracionais
พาย
ฟาย
√4
-12/14
0
แผนภาพนี้บอกเราว่าชุดของเชิงซ้อนรวมค่าอื่นๆ ทั้งหมดของชุดอื่นๆ ประกอบด้วยคำตอบของ Naturals (ℕ), Integers (ℤ), Rationals (ℚ), Reals (ℝ) และ Irrationals (𝕀).
เพื่อให้เข้าใจตัวเลขเชิงซ้อนได้ดีขึ้นต้องมีการแทนค่าทางเรขาคณิต ชุดนี้ไม่มีอะไรมากไปกว่าการแสดงสองมิติบนระนาบคาร์ทีเซียน โดยแกน (x) แทนชุด ℝ และแกน (y) แทนค่าจินตภาพ (Im) ตัวเลขในจินตนาการเหล่านี้คืออะไร?
จำนวนจินตภาพคือ อย่างง่าย a ชุดย่อยของคอมเพล็กซ์ เพื่อให้สามารถแสดงค่าเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนได้ เราจำเป็นต้องมีชุดค่าผสมระหว่างชุดย่อยอื่นๆ อีกสองชุด เพื่อความเข้า ใจที่ดีขึ้น โปรดดูแผนภาพด้านล่าง
ℂ Complexes
ℝ Reais
𝕀m จินตนาการ
7/6
-3
2.9
√4
เ
เ
เ
เ
+
จากนั้นชุดย่อย (กลุ่มย่อย) ของคอมเพล็กซ์ที่เรียกว่า Imaginary Numbers (𝕀m) จะแสดงโดย:_cc781905-5cde-3194-bb3b-136bad5
และ
ใช่! ภายในจำนวนจินตภาพ is เป็นไปได้ การมีอยู่ของรากที่สองของจำนวนลบ สัญกรณ์ปกติสำหรับตัวเลขจินตภาพเป็นเพียงตัวอักษร (i) และตามสมการข้างต้นแสดงว่ามีความสัมพันธ์ของ i² เท่ากับ √-1.
Então paraเป็นตัวแทนของรูปแบบalgébrica ที่ซับซ้อน os números números:
︸
จำนวนเชิงซ้อน
︸
ส่วนจริง
︸
ส่วนจินตภาพ
ในกรณีที่เราจำชุดสุดท้ายที่แสดงด้านบนได้ จะตรงกับ description พีชคณิต ของจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ (a) และ (b) เป็นจำนวนจริง ℝ และ (i) เป็นส่วนหนึ่งของ dos จินตภาพ (𝕀m) นั่นคือ จำนวนเชิงซ้อนไม่มีอะไรมากไปกว่า o ชุด ของของจริง แต่มีส่วนของโซลูชันจินตภาพเป็นคำศัพท์เสริม กล่าวอีกนัยหนึ่ง o ชุด the complexes (ℂ) เป็นเซตที่ครอบคลุมมากที่สุดที่ Reais (ℝ) สำหรับการปรับใช้โซลูชั่นมากกว่าเขา.
มันเป็นความจริงที่ว่าศัพท์บัญญัติ_cc781905-5cde-bad_31นักคณิตศาสตร์ใช้สำหรับเซตอาจทำให้สับสนเล็กน้อย จำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนไม่ได้หมายความว่าชุดหนึ่ง "มีอยู่ในโลกแห่งความเป็นจริง" และอีกชุดหนึ่งเป็นชุดที่ยาก ซับซ้อนในการทำงานด้วย นั่นคือสาเหตุที่เรียกว่าชุดซ้อน ไม่! มันไม่เกี่ยวอะไรกับมันเลย แต่ระบบการตั้งชื่อก็เป็นที่ยอมรับและส่งต่อ แม้จะมีข้อสงสัยในแง่ที่พวกเขาได้รับการปฏิบัติ เพื่อให้เข้าใจเหตุผลที่แท้จริงว่าทำไมจำนวนเชิงซ้อนนี้จึงจำเป็น มาทำความเข้าใจกันจริงๆ ว่ากำลังสองของจำนวนหนึ่งคืออะไรและแทนค่าอะไร
_cc781905-5cde-3194-bb3b5cf783b-ผลลัพธ์อะไรในcc เรารู้ว่า 7.7 เท่ากับ 49 แต่เพื่อให้เข้าใจมากขึ้น ลองแทนเลข 1 ทั้งสองข้าง เนื่องจากการคูณอะไรก็ได้ด้วย 1 เป็นตัวมันเอง เพื่อให้ได้แนวคิด
_cc781905-5cde-3194-bb3b-demos _Assever squarmosquem squarmosquem squarmosquem หรือค่าลบโดยกฎเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์ (-).(-) = + หากเรามีกำลังที่เท่ากันเราจะไม่มีวันได้ผลลัพธ์เชิงลบใช่ไหม
_cc781905-5cde-3194-bb3bmd_136bad5izfn _cc781905-5cde-3194-bb3bd_136bad5izfn ไฟล์ภาพ 1 ตัว การเปลี่ยนแปลง:
-1
0
1
_cc781905-5cde-3194-bb3b-3194-136bad5csdé accbb3b-136bad5csde accbb3b-136bad5csdการคูณ ด้วยจำนวนลบ (-1) x (-1) = +1 ไม่เปลี่ยนแปลง: ลูกศรจะไปทางซ้าย (ทิศทางแกนลบ) และกลับไปที่แกนบวกด้วยการคูณแบบเดียวกัน ค่า.
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
_cc781905-5cde-3194-bb3bd3178val5écfd_cc781905-5cde-3194-bb3bd_136bad5cfe_Occe -136bad5cf58d_เราจะมี คูณด้วยตัวมันเองได้ผลลัพธ์เป็นลบ? เป็นไปได้อย่างไรที่จะเพิ่มจำนวนเป็นกำลังคู่เช่นหมายเลข 2 และได้ค่าลบ? นี่คือที่มาของแนวคิดเรื่องจำนวนเชิงซ้อนและจำนวนจินตภาพ ไม่มีอะไรขัดขวางเราไม่ให้หมุน และสร้างแกนตั้งที่สองที่มีลักษณะสำคัญ แกนนี้มีเพียงจำนวนจินตภาพเท่านั้น
ผม
-1
0
1
-ผม
_cc781905-5cde-3194-bad5cf-136 ดังนั้นตอนนี้เราจึงมีรูปร่างที่ซับซ้อน ตัวเลขเชิงซ้อนคือการแสดงระนาบที่แสดงด้านบน โดยที่จุดบนระนาบต้องใช้ค่าสองค่า (แกนจริง (ℝ); แกนจินตภาพ (𝕀m)) เครื่องบินลำนี้เรียกว่าเครื่องบิน Argand Gauss
Certo, revemos isso tudo até aqui, mas porque mesmo? Bom para entender de onde se deriva a equação de Schrödinger, teríamos que compreender um curso todo de equações diferenciais parciais, que não nos é conveniente aqui. Então estou usando uma analogia associativa com o que você aluno do ensino médio ja deveria ter visto até então. O importante a se relacionar dos números complexos a equação de Schrödinger é que ela mesma resolve uma função chamada complexa! E o que fisicamente queremos extrair desta equação é um valor numérico que ficará claro ao final da sessão "A função de onda quântica". Então dito isso, como então extraímos esse valor que nos interessa dentro da física de uma função complexa?
Como citamos anteriormente a função complexa é composta por uma parte real e uma parte imaginária, a questão é que a parte imaginária não têm um análogo físico, ou uma relação física que a associe ao um resultado de um fenômeno físico, e sim a parte real é a que faz mas sentido em ser usada, uma vez que ja dissemos que a parte imaginária é simplesmente uma abstração matemática para conseguirmos resolver um problema matemático, ela não existe literalmente (me atrevo a dizer que o nome "Imaginário" não foi posto atoa neste termo (i) na matemática). Então para extrairmos o resultado real, fisico, significativo para nós de uma função complexa, nós dizemos que tiraremos o seu módulo! E tomar o módulo de um número complexo tem uma particularidade com o módulo usualmente visto na álgebra convencional demonstrada abaixo:
Onde (z) é um número complexo e (z*) é o complexo conjugado
Quando citamos retirar o módulo de alguma variável, seria multiplicar seu valor por ele mesmo, ou seja, no caso desta função (z) se não fosse complexa, seu módulo seria: |z| = z • z . Mas com os números complexos não são bem assim, o módulo dele é multiplicado pelo seu termo seu mesmo fator mas com sinal trocado, que chamamos de Conjugado na matemática que geralmente é representado com um asterisco acima da variável (*) como mostra a equação anterior e a equação abaixo!
︸
︸
Complexo Conjugado
Complexo Conjugado
E isso é feito pois, a parte imaginária é um abstração matemática para simplesmente resolvermos problemas matemáticos no qual os Reais não têm soluções, como descrito anteriormente na página. E fazendo isso, os termos que contêm a parte imaginária serão cancelados apenas sobrando a solução real que de fato conseguimos representar no mundo físico, real.
Onde já definimos que o fator complexo ao quadrado como:
Sendo assim temos então que o módulo de um número complexo é:
Equação algébrica para o módulo a função complexa (z)
Então como provado, apenas os termos reais da função complexa se mantém quando tomamos o seu módulo. E isso é importante pois é com ele que realmente iremos utilizar para determinarmos os valores reais da função de onda quântica.
Há também um outra relação que aparece também frequente em mecânica quântica, que apenas vamos mostrar, pois a dedução dela é um pouco extensa e que deriva de uma relação semelhante a equação algébrica, mas na forma trigonométrica. Esta relação é a relação de Euler, dada pela seguinte expressão:
Relação trigonométrica da função complexa
Relação de Euler para os números complexos