การวิเคราะห์สมการชโรดิงเงอร์
แนวทางเบื้องต้น
เพื่อให้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ชัดเจนยิ่งขึ้นเกี่ยวกับสิ่งที่ Schrödinger Eq. สัมพันธ์กับหน้าที่แล้วและไม่ได้เจาะลึกในหน้านี้มากนัก เพราะการจะเข้าใจความสมบูรณ์ของสมการนั้นต้องใช้แนวคิด ของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์,การคำนวณหลายตัวแปร , สมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนและตัวเลขที่ซับซ้อน
จุดประสงค์ที่นี่ไม่ใช่เพื่อทราบวิธีแก้สมการเอง แต่เพื่อให้เข้าใกล้ ขั้นพื้นฐาน do แคลคูลัสที่กล่าวไว้ข้างต้น โดยไม่ต้องเจาะลึกถึงแนวคิดและเจาะลึกลงไปในแนวคิดที่เกี่ยวข้องของพีชคณิตเบื้องต้นและแคลคูลัสเบื้องต้น เพื่อให้ได้ค่ามากที่สุด แจ่มใส เป็นไปได้ เราจะยกตัวอย่างของแต่ละแนวคิดเพื่อช่วยให้เข้าใจถึงสิ่งที่เราต้องการอธิบายเกี่ยวกับคำอธิบายของ Eq.Schrödinger.
ที่ 1)แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์คืออะไร?
Differential and Integral Calculus ซึ่งเราจะเรียก Calculus เป็นต้นไป ครอบคลุม คนอื่น การคำนวณที่เราอ้างถึงก่อนหน้านี้ แคลคูลัส โผล่ออกมา in ความจำเป็นในการสร้างเครื่องมือที่แม่นยำยิ่งขึ้น e การวิเคราะห์ เกี่ยวกับปรากฏการณ์บางอย่างที่ได้รับการศึกษาในสมัยโบราณ หนึ่งในผู้ที่มีส่วนในการสร้างมันคือ Isaac Newton ตามที่กล่าวไว้ในทบทวนกลศาสตร์ และอีกคนก็ than สนับสนุน สำหรับแคลคูลัสร่วมกับนิวตันคือไลบนิซ.
หนึ่งในความต้องการเหล่านี้ถูกใช้ในการศึกษาวัตถุท้องฟ้าโดยนิวตันในทฤษฎีความโน้มถ่วงและกฎกลศาสตร์ 3 ข้อของเขา ปัญหาคือ... ฉันจะวัดวัตถุที่เคลื่อนที่คงที่โดยสัมพันธ์กันโดยใช้พีชคณิตได้อย่างไร ลองคิดดูว่าการอธิบายการเคลื่อนที่ของดาวฤกษ์จะซับซ้อนเพียงใดถ้ามันเปลี่ยนตำแหน่งของดาวทุกวันและทุกวัน คุณต้องปรับเทียบอุปกรณ์ใหม่ คำนวณใหม่ดังนี้... พีชคณิตธรรมดาไม่สามารถจัดการกับปัญหาเหล่านี้ได้ และปัญหาอื่นๆ อีกมากมายเมื่อ คือ um การเคลื่อนที่ของวัตถุใดๆ โดยไม่มีความแม่นยำเท่ากัน และในบางกรณีก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ซึ่งเป็นสิ่งที่นิวตันต้องการจะทำอย่างแน่นอน นิวตันจึงเริ่มทำงานคณิตศาสตร์ e พบ สิ่งที่ยอดเยี่ยมและมีลักษณะทางเรขาคณิตอย่างยิ่งที่มองเห็นได้ง่าย
แนวคิดแรกที่สอนในวิชาแคลคูลัสคือแนวคิดของขีดจำกัด! ฉันเรียกสิ่งนี้ว่าโอเปอเรเตอร์จาก "Aproximometer".
ฉันรู้ว่าคุณต้องคิดอะไรอยู่ตอนนี้... "Limit?🤨Operator?😣. ใจเย็นๆ! มาเริ่มอธิบายว่าโอเปอเรเตอร์หมายถึงอะไรในแบบทั่วไปในวิชาคณิตศาสตร์ เข้าใจโอเปอเรเตอร์ง่ายๆ ว่า พีชคณิตเครื่องมือสำหรับจัดการค่า และในบางกรณี "พารามิเตอร์" ในพีชคณิต เรามี 4ตัวดำเนินการเบื้องต้นรู้กันดีอยู่แล้วว่าคุ้นเคยกันดีอยู่แล้ว.
ก) เรามีโอเปอเรเตอร์ในผลรวม e sua สัญกรณ์ é (+): ตัวอย่างเช่น:
เราใช้ค่า ค่า A และค่า B อื่น ๆ และเราดำเนินการ (จัดการ...) โดยกฎผลรวม (เชื่อมโยง/เข้าร่วม) ซึ่งทำให้เราได้รับค่า C อีกค่าหนึ่งเป็นผลลัพธ์ Por ตัวอย่าง
หรือ
การเปรียบเทียบแบบเดียวกันนี้สามารถทำได้กับตัวดำเนินการที่เหลือที่คุณรู้จัก โอเปอเรเตอร์ (การลบ (-) ; การหาร (÷) และการคูณ (×) ) และ your ตามลำดับ rules สำหรับค่าและพารามิเตอร์ "การจัดการ"
ซึ่งแตกต่างจากตัวดำเนินการพีชคณิตเบื้องต้น ตัวดำเนินการ Limit จะไม่ทำงานกับตัวเลข แต่มีค่าของฟังก์ชั่น! ค่ะ!😂 มาดูคอนเซปต์นี้กันอีกครั้งต่อจากนี้ไป หนึ่งในคอนเซปต์ถ้าไม่ใช่คอนเซปต์ที่สำคัญที่สุดของ C . ทั้งหมดการคำนวณ
ข)ฟังก์ชั่น:ฉันเชื่อว่าพวกคุณหลายคนเมื่อคุณเริ่มศึกษาหัวข้อนี้ในวิชาคณิตศาสตร์ไม่ได้จริงจังเท่าที่ควร มาทำพู่กันที่ดีกับแนวคิดของการทำงานและแนวคิดที่สำคัญ a เข้าใจได้ภายในเรื่อง เริ่มต้นด้วยแนวคิดของ Domino เกี่ยวกับฟังก์ชัน (𝔻).
ฉันรู้ว่าการทบทวน ดูเหมือนจะไม่สมเหตุสมผลกับคำอธิบายของ Eq.Schrödinger เชื่อผมเถอะว่าจะทำได้เยอะเพราะว่าเราไม่มีวัตถุประสงค์ที่จะรู้วิธีคำนวณ ตัวเลข a Eq. แต่เพื่อให้เข้าใจความหมายของมันและสิ่งที่อธิบายจริงๆ และแนวคิดที่เข้าใจง่ายทั้งหมดนั้นหมุนรอบโดเมนฟังก์ชัน Wavefunction ที่เราพูดถึงมากหรือไม่ สำหรับสิ่งนี้ เราต้องมีแนวคิดที่ชัดเจนเกี่ยวกับแนวคิดนี้เพื่อทำความเข้าใจปัจจัยที่ พวกเขาคือ ในนิพจน์ que ข้างหลัง เราจะพูดถึงหนึ่งใน the หัวข้อ เกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน.
มาเริ่มกำหนดแนวคิดที่สำคัญบางอย่างกัน:
●โดมิโนคืออะไร? Domain ของฟังก์ชันไม่มีอะไรมากไปกว่าชุดของค่าที่ตรงกับโซลูชันของฟังก์ชันที่กำหนด
●ฟังก์ชั่นคืออะไร? เป็นการแทนค่าทางคณิตศาสตร์ที่เราสร้างการเชื่อมโยงของค่าจากชุดตัวเลขหนึ่งไปยังอีกชุดหนึ่ง เมื่อจัดการหรือไม่เป็นชุดของ การดำเนินการต่างๆ เช่น (เพิ่ม หาร รูท ฯลฯ...).
มาดูตัวอย่างกันว่าทำไมการทบทวนแนวคิดเหล่านี้จึงมี ความสำคัญ เรามาเริ่มกันที่ 3 ประเภทของฟังก์ชันที่จะสามารถยกตัวอย่างการใช้งานของการศึกษาโดเมนได้
●ฟังก์ชันเชิงเส้น (เท่ากับตรง):
นี่เป็นหนึ่งในฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดที่เราได้เรียนรู้ในโรงเรียน นั่นคือฟังก์ชันดีกรีแรก (สมการเส้น) เรารู้ว่า (a) และ (b) เป็นค่าคงที่นั่นคือค่าที่ไม่เปลี่ยนแปลงและพารามิเตอร์เดียวที่สามารถมีค่าต่างกันคือตัวแปรของเรา (x) ทีนี้ เพื่อวิเคราะห์โดเมนของฟังก์ชันนี้ เราต้องดูว่าฟังก์ชันนั้นต้องการข้อจำกัดเกี่ยวกับพีชคณิตหรือไม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรื่องนี้ไม่มีข้อจำกัดเพราะค่าใดๆ ที่เราใส่ใน (x) จะมีวิธีแก้ปัญหา เราจะใช้สัญกรณ์ทั่วไปเพื่อเป็นตัวแทนของโดเมน
นั่นคือ (x) มีอยู่ในจำนวนจริงทั้งหมด ตัวอย่างเช่น สมมติว่า a = 1 และ b = 0 และแสดงฟังก์ชันนี้บนกราฟ สำหรับค่าใดๆ ของ (x) [แกนในแนวนอน] เราจะมีค่าที่เกี่ยวข้องกับแกน (y) [axis na แนวตั้ง].
●ฟังก์ชันเหตุผล: ฟังก์ชั่น มีเหตุผล เป็นฟังก์ชันอีกประเภทหนึ่งที่เราต้องจำไว้ เพราะมีข้อจำกัดที่เราไม่มีทางแก้ไขได้
ฟังก์ชันตรรกยะไม่มีอะไรมากไปกว่าฟังก์ชันที่ประกอบด้วยฟังก์ชันอื่นอีก 2 ฟังก์ชันที่หารด้วยฟังก์ชันอื่น โดยมีข้อจำกัดของ h(x) ≠ 0 เพราะไม่มีคำตอบสำหรับการหารที่มี 0 มาทำความเข้าใจ มาดูตัวอย่างกัน:
โปรดทราบว่า f(x) ประกอบด้วยฟังก์ชันอื่นๆ อีกสองฟังก์ชัน g(x) = x+3 และ h(x) = x-3 จำไว้ว่าการหารนั้นเราไม่สามารถหารด้วย 0 ได้ ดังนั้นเพื่อหา o โดเมน ของฟังก์ชันนี้ (นั่นคือ ช่วงของค่าที่ฟังก์ชันมีวิธีแก้ปัญหา) คือ...
ซึ่งหมายความว่าค่าเดียวที่ h(x) ไม่สามารถกำหนดให้ตัวส่วนเคารพ a ข้อจำกัดของฟังก์ชันตรรกยะ นั่นคือ เราไม่สามารถหารด้วย 0, (x) สามารถรับค่าใดๆ ก็ได้ ยกเว้น 3 ซึ่งจะต้องแตกต่างจาก 3. ในการเขียนโดเมน เรามี:
การวิเคราะห์โดเมนของฟังก์ชันช่วยให้เราตระหนักว่าโดยการจำกัดการมีอยู่ของโซลูชันสำหรับฟังก์ชันตรรกยะ เรารู้อย่างแน่นอนว่าในค่า 3 ไม่มีทางแก้ไข ไม่มีวิธีแก้ปัญหาหมายความว่าอย่างไร? ดูกราฟเอง ณ จุด x=3 โดยที่ฟังก์ชัน h(x) จะเป็นศูนย์ a เป็นเจ้าของ function f(x) ไม่แตะต้องที่จุดนั้น นั่นคือไม่มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับ f(x) เมื่อ x=3 ไม่อยู่ในเซตของ Reais (ℝ) เป็นอย่างน้อย
ฟังก์ชันสุดท้ายที่เราจะไปดูกันคือหน้าที่ที่สำคัญที่สุด บางทีเราอาจจะต้องเข้าใจก่อน
●ฟังก์ชั่นรูท: ฟังก์ชั่น root อีกด้วย is หนึ่งในหลายฟังก์ชันที่มีข้อจำกัดบางประการในการดำรงอยู่ อย่างที่คุณเคยเห็นมาแล้ว ไม่มีสแควร์รูทที่มีจำนวนลบ มีแต่จำนวนบวกเท่านั้น
ดังนั้น เพื่อกำหนดโดเมนของฟังก์ชันรากที่สอง เราจะ com:
เน้นย้ำฟังก์ชันนี้คือฟังก์ชันรากที่สองซึ่งเป็นค่าผกผันของฟังก์ชันกำลังสอง ไม่ยอมรับค่าลบ เนื่องจากจำนวนใดๆ ที่ยกขึ้น กำลังสองหรือเลขชี้กำลังคู่ใดๆ จะเป็นค่าบวกเสมอในชุด Reais (ℝ) ปัญหาคือรากที่สองสามารถรับจำนวนลบได้ แต่มันไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของเซตของจำนวนจริง (ℝ) เนื่องจากไม่มีความสอดคล้องกันสำหรับคำตอบดังกล่าว ดังนั้นในช่วงหลายปีที่ผ่านมานักคณิตศาสตร์สังเกตเห็นจุดเริ่มต้นของนักคณิตศาสตร์ชุดอื่น ที่ยอมรับตัวเลขติดลบในราก o ชุด dos จำนวนเชิงซ้อน (ℂ) เราจะอธิบายแนวคิดนี้ให้ดียิ่งขึ้นในหน้าคำจำกัดความของจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร