Сложные числа
Комплексные числа, или, скорее, набор комплексных чисел, важн ы в квантовой механике, потому что многие решения, описывающие квантовые явления, требуют этого набора в своих вычислениях. А что такое комплексные числа?🤔
Набор комплексов (комплексных чисел), обозначенный (ℂ), является просто еще одним математическим набором, который допускает значения, которых нет в других наборах. Например, отрицательные квадратные корни. Если вы помните уроки математики, возможно, вы помните следующую диаграмму.
ℚ рациональный
7/6
-8
-3
2,9
-3
8
-9
4
5
ℤ целые числа
ℕ естественный
0
3
8
9
4
5
ℝ Настоящий
7/6
-15
-3
2,9
ℂ комплексы
√-1
2+4i
Cos(θ) + i.Sen (θ)
𝕀 иррациональный
π
ф
√4
-12/14
0
Эта диаграмма говорит нам о том, что набор комплексов охватывает все остальные значения других наборов. Он содержит решения натуральных (ℕ), целых (ℤ), рациональных (ℚ), действительных (ℝ) и иррациональных (𝕀).
Для лучшего понимания комплексных чисел есть геометрическое представление. Этот набор представляет собой не что иное, как двумерное представление на декартовой плоскости, где ось (x) представляет набор ℝ, а ось (y) представляет мнимые значения (Im). Какими будут эти мнимые числа?
Мнимые числа просто подмножество комплексов. Чтобы иметь возможность алгебраически представлять значения комплексных чисел, у нас должна быть комбинация между этими двумя другими подмножествами. Для лучшего понимания смотрите схему ниже.
ℂ комплексы
ℝ Настоящий
𝕀м Воображаемый
7/6
-3
2,9
√4
ℕ
ℤ
ℚ
𝕀
+
Таким образом, подмножество (подгруппа) комплексов, называемых мнимыми числами (𝕀m), представлено:
А ТАКЖЕ
Да! Среди мнимых чисел находится возможно существование квадратного корня из отрицательных чисел. Обычная запись для мнимых чисел - это просто буква (i), и, как показывает приведенное выше уравнение, существует отношение i², равное √-1.
Таким образом, для алгебраического представления комплексных чисел используется следующая запись:
︸
Комплексное число
︸
реальная часть
︸
мнимая часть
Там, где мы помним последний набор, который мы показывали выше, он точно соответствует описанию. алгебраический комплексных чисел. Где (a) и (b) — действительные числа ℝ, а (i) — часть воображаемый (𝕀м). То есть комплексные числа есть не что иное, как задавать действительных, но с мнимой частью решения в качестве дополнительного члена. Другими словами, задавать комплексы (ℂ) - это набор, более полный, чем действительные числа ( ℝ), потому что он принимает больше решений, чем он.
Это факт, что номенклатура используемый математиками для множеств, может немного сбивать с толку. Реальные числа и комплексные числа не означают, что одно множество «существует в реальном мире», а другое — сложное множество, с которым сложно работать, поэтому они называются сложными. Нет! Это не имеет к этому никакого отношения. Но номенклатура была принята как таковая и передана, несмотря на то, что она была сомнительной в том смысле, в котором она трактуется. Чтобы понять настоящую причину, по которой было необходимо это комплексное число, давайте действительно поймем, что такое квадратная степень числа и что оно на самом деле представляет.
Какое число, умноженное само на себя, дает 49? Ну, мы знаем, что 7,7 равно 49, но чтобы лучше понять, давайте представим число 1 с обеих сторон, так как умножение чего-либо на 1 само по себе, просто чтобы понять идею.
Таким образом, мы можем видеть, что если мы делаем то же самое для любых значений, положительных или отрицательных, по правилу знаков произведения (-).(-) = +, если у нас всегда четная мощность, мы никогда не получим отрицательный результат , правильно?
Просматривая числа в одной строке, мы видим, что 1x1=1 не меняется:
-1
0
1
То же самое произойдет, если мы сделаем умножение с отрицательными числами (-1) x (-1) = +1 не меняется: стрелка пойдет влево (отрицательное направление оси) и вернется к положительной оси с тем же умноженным значением.
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
Теперь проблема в том, какое значение мы бы хотели иметь умножение само на себя дает отрицательный результат? Как возможно возвести число в четную степень, например число 2, и получить отрицательное число? Вот тут-то и появляется идея о комплексных и мнимых числах. Ничто не мешает нам сделать поворот и создать вторую вертикальную ось с важной характеристикой, эта ось содержит только мнимые числа.
i
-1
0
1
-i
_cc781905-5cde-3194-bad6cf-1 Теперь у нас есть геометрические формы для представления комплексов. Комплексные числа представляют собой плоское представление, как показано выше, где для точки на плоскости необходимы два значения (действительная ось (ℝ); мнимая ось (𝕀m)). Эта плоскость называется плоскостью Аргана-Гаусса.
Certo, revemos isso tudo até aqui, mas porque mesmo? Bom para entender de onde se deriva a equação de Schrödinger, teríamos que compreender um curso todo de equações diferenciais parciais, que não nos é conveniente aqui. Então estou usando uma analogia associativa com o que você aluno do ensino médio ja deveria ter visto até então. O importante a se relacionar dos números complexos a equação de Schrödinger é que ela mesma resolve uma função chamada complexa! E o que fisicamente queremos extrair desta equação é um valor numérico que ficará claro ao final da sessão "A função de onda quântica". Então dito isso, como então extraímos esse valor que nos interessa dentro da física de uma função complexa?
Como citamos anteriormente a função complexa é composta por uma parte real e uma parte imaginária, a questão é que a parte imaginária não têm um análogo físico, ou uma relação física que a associe ao um resultado de um fenômeno físico, e sim a parte real é a que faz mas sentido em ser usada, uma vez que ja dissemos que a parte imaginária é simplesmente uma abstração matemática para conseguirmos resolver um problema matemático, ela não existe literalmente (me atrevo a dizer que o nome "Imaginário" não foi posto atoa neste termo (i) na matemática). Então para extrairmos o resultado real, fisico, significativo para nós de uma função complexa, nós dizemos que tiraremos o seu módulo! E tomar o módulo de um número complexo tem uma particularidade com o módulo usualmente visto na álgebra convencional demonstrada abaixo:
Onde (z) é um número complexo e (z*) é o complexo conjugado
Quando citamos retirar o módulo de alguma variável, seria multiplicar seu valor por ele mesmo, ou seja, no caso desta função (z) se não fosse complexa, seu módulo seria: |z| = z • z . Mas com os números complexos não são bem assim, o módulo dele é multiplicado pelo seu termo seu mesmo fator mas com sinal trocado, que chamamos de Conjugado na matemática que geralmente é representado com um asterisco acima da variável (*) como mostra a equação anterior e a equação abaixo!
︸
︸
Complexo Conjugado
Complexo Conjugado
E isso é feito pois, a parte imaginária é um abstração matemática para simplesmente resolvermos problemas matemáticos no qual os Reais não têm soluções, como descrito anteriormente na página. E fazendo isso, os termos que contêm a parte imaginária serão cancelados apenas sobrando a solução real que de fato conseguimos representar no mundo físico, real.
Onde já definimos que o fator complexo ao quadrado como:
Sendo assim temos então que o módulo de um número complexo é:
Equação algébrica para o módulo a função complexa (z)
Então como provado, apenas os termos reais da função complexa se mantém quando tomamos o seu módulo. E isso é importante pois é com ele que realmente iremos utilizar para determinarmos os valores reais da função de onda quântica.
Há também um outra relação que aparece também frequente em mecânica quântica, que apenas vamos mostrar, pois a dedução dela é um pouco extensa e que deriva de uma relação semelhante a equação algébrica, mas na forma trigonométrica. Esta relação é a relação de Euler, dada pela seguinte expressão:
Relação trigonométrica da função complexa
Relação de Euler para os números complexos