ฟังก์ชันคลื่นควอนตัม
จนถึงตอนนี้ เรามีความคิดที่ดีว่าฟังก์ชั นคลื่นคืออะไรและอธิบายอะไร ประเด็นคือ ฟังก์ชันคลื่นที่เราเห็นก่อนหน้านี้ในการตรวจสอบการกระเพื่อมนั้นไม่เหมือนกับฟังก์ชันคลื่นที่เราจะจัดการตอนนี้ทุกประการ ก่อนอื่นเราต้องเข้าใจสองสิ่งก่อน
ฟังก์ชันคลื่นควอนตัมไม่ใช่คลื่นทางกายภาพอย่างแท้จริงที่แพร่กระจายผ่านตัวกลางในอวกาศ ประชาชนทั่วไปอาจสับสนเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้
เราต้องชี้แจงสิ่งต่อไปนี้ ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วในบทที่แล้ว การตีความที่เราอธิบายที่นี่เกี่ยวกับฟังก์ชันคลื่นควอนตัมเป็นไปตามรูปแบบการตีความที่ยอมรับมากที่สุดในชุมชนวิทยาศาสตร์ นั่นคือ การตีความในโคเปนเฮเกน แบบจำลองนี้อธิบายฟังก์ชันคลื่นควอนตัมว่า aฟังก์ชันความน่าจะเป็น. นั่นคือ ฟังก์ชันคลื่นควอนตัมมีลักษณะทางคณิตศาสตร์ในกลศาสตร์ควอนตัมมากกว่าลักษณะทางกายภาพ ทำไมล่ะ? สรุปคือ ทฤษฎีตรงกับข้อมูลการทดลองและค่อนข้างแม่นยำ
หากเราจะวิเคราะห์ เช่น การทดลองของ Young (double slit) และแนวคิดของเอฟเฟกต์โฟโตอิเล็กทริก เรารู้ว่า "อนุภาค" ที่ เกล็ดที่เล็กที่สุดเมื่อแพร่กระจายไปทั่วอวกาศไม่มีพฤติกรรมที่กำหนดไว้ (ซึ่งเป็นที่มาของแนวคิดเรื่องความไม่แน่นอนของไฮน์เซนเบิร์ก) เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ บวกกับแนวคิดที่ว่าเมื่อวัตถุควอนตัมเดียวกันเหล่านี้ถูกโยนชนกับรอยแยกสองรอย พวกมันนำเสนอพฤติกรรมคลื่น (แบบจำลองการรบกวน) ซึ่งเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่น่าเชื่อถือมากในการสร้างแบบจำลองปรากฏการณ์เหล่านี้คือ การปฏิบัติต่อสสารเบื้องต้นเป็นคลื่นในรูปแบบของ คลื่น แพร่กระจายและในบางกรณีเป็นอนุภาคเมื่อมีปฏิสัมพันธ์กับวัตถุอื่น ๆ (แบบจำลองคลื่นของสสาร) โดยที่สสารทั้งหมดมีความยาวคลื่น ดังนั้นจึงมีความถี่ที่เกี่ยวข้องกันอย่างแท้จริง ดังที่เราเห็นในหัวข้อนี้
ในแง่นี้ฟังก์ชันคลื่นในกลศาสตร์ควอนตัมมีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ตามข้อมูลเชิงประจักษ์(ซึ่งสังเกตได้ในห้องปฏิบัติการ) ไม่ได้เป็นตัวแทนของคลื่นกล เช่น เสียง การสั่นสะเทือนในเชือก เป็นต้น (ซึ่งโดยแท้จริงแล้วมันเป็นปรากฏการณ์ทางกายภาพ ไม่ใช่แค่ปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์) แต่เป็นคลื่นความน่าจะเป็นซึ่งภายในช่วงที่กำหนด (พื้นที่เฉพาะของพื้นที่) เราสามารถมีความคิดบางอย่างเกี่ยวกับตำแหน่งของสสารอะตอมหรืออะตอมที่มีสูงหรือต่ำความน่าจะเป็น!
เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น ให้ดูฟังก์ชันคลื่นควอนตัมด้านล่าง
ฟังก์ชันคลื่นไซน์แทนอนุภาคอิสระ
มาทำความเข้าใจกันทีละส่วน อย่างแรกอย่างที่เราทราบกันดีอยู่แล้วว่าสมการชโรดิงเงอร์ต้องการคำตอบที่ซับซ้อน หากคุณให้ความสนใจกับสมการ คุณจะสังเกตเห็นว่าด้านล่างในคำอธิบายเรียกว่าฟังก์ชันคลื่นไซน์ แต่ฟังก์ชันไซน์อยู่ที่ไหน
หากคุณเข้าใจการทบทวนจำนวนเชิงซ้อนที่ทำไว้ก่อนหน้านี้ในการวิเคราะห์ Eq.Schrödinger พจน์เลขชี้กำลังเป็นหนึ่งในอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนที่เรียกว่าสูตรของออยเลอร์ นิพจน์ไซน์และโคไซน์รวมอยู่ในนิพจน์นี้
พจน์เลขชี้กำลังแสดงดังต่อไปนี้:
เราสามารถแสดงเลขชี้กำลังได้ดังนี้:
ซึ่งเราสามารถลดสมการเป็น: (โดยกฎพื้นฐานของผลคูณของกำลังที่มีฐานเดียวกัน)
ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเหตุใด "การละเลย" ของอาร์กิวเมนต์ตรีโกณมิติไซน์ในฟังก์ชันคลื่นควอนตัม และอีกหนึ่งข้อพิสูจน์ว่าคำตอบของมันซับซ้อน การสาธิตนี้จัดทำขึ้นเพื่อให้คุณผู้อ่านเข้าใจเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องและไม่จำเป็นต้องรู้วิธีคำนวณเท่านั้น
สิ่งสำคัญที่ต้องรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันคลื่นควอนตัมก็คือว่าในตัวเองไม่ได้แสดงถึงความหมายทางกายภาพตามที่ระบุไว้ สิ่งที่เราสนใจจริงๆ เกี่ยวกับมันคือการกำหนด "ขนาด" หรือ "สูงสุด" ความน่าจะเป็น" ที่เราพูดในทางคณิตศาสตร์ มันเป็น "บรรทัดฐาน" ของมัน.
บรรทัดฐานของฟังก์ชันคลื่นเป็นสิ่งที่จำเป็น เนื่องจากเรากล่าวว่าวิธีแก้ปัญหานั้นซับซ้อน แต่ก็มีผลเชิงลบ แต่ในทางคณิตศาสตร์และทางกายภาพ เป็นไปไม่ได้ที่จะมีความน่าจะเป็นเชิงลบ การกำหนดที่เราทำกับฟังก์ชันคลื่นนี้แม่นยำเพื่อให้สามารถดึงผลลัพธ์เชิงบวกที่มีเหตุผลทางกายภาพบางอย่างได้
โปรดทราบว่าบรรทัดฐานของฟังก์ชันไม่ได้แสดงผลลัพธ์เดียวกันของ Ψ(x,t) แต่เป็นเทอมที่มี (*) คำนี้คือสิ่งที่เราเห็นในการทบทวนฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่เรียกว่า "Conjugate Complex" และแสดงดังนี้:
เราสามารถพูดได้ว่าคอนจูเกตเชิงซ้อนเป็นส่วนลบของคำตอบเชิงซ้อน และเมื่อเรานำบรรทัดฐานไปใช้กับฟังก์ชันคลื่นควอนตัม มันจะเป็นโมฆะ ซึ่งเรามีนิพจน์ต่อไปนี้:
ตอนนี้ เรามีวิธีแก้ปัญหาทางกายภาพที่น่าเชื่อถือแล้ว เนื่องจากแอมพลิจูดของคลื่นควอนตัมไม่มีวันเป็นลบ เพราะมันมีพลังที่เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าเราจะมีความน่าจะเป็น P(x) ≥ 0 (มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์) สิ่งนี้สมเหตุสมผลเพราะไม่มีทางที่อนุภาคจะไม่อยู่ในอวกาศ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่อนุภาคคือ P(x) = 0 ใช้ได้เฉพาะในพื้นที่เฉพาะ ของพื้นที่ที่เราอาจวิเคราะห์ แต่ไม่ใช่สำหรับพื้นที่ทั้งหมด การกำหนดตามทฤษฎีนี้ที่เราสร้างฟังก์ชันคลื่นควอนตัมคือสิ่งที่เราเรียกว่าการทำให้เป็นมาตรฐานของฟังก์ชันคลื่นซึ่งในทางทฤษฎีเราต้องการความน่าจะเป็นของฟังก์ชันคลื่นระหว่าง:
นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคใดๆ ในพื้นที่ว่างจะสูงสุดถ้า |Ψ(x,t)|² = 1 เท่ากับ 100% และถ้า |Ψ(x,t)|² = 0 ความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ เท่ากับ 0% ด้วยวิธีนี้ ฟังก์ชันคลื่นควอนตัมจะหยุดมีความหมายทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียว และแท้จริงแล้วมีความหมายทางกายภาพตามการตีความบรรทัดฐานของฟังก์ชันคลื่น แนวคิดความน่าจะเป็นของฟังก์ชันคลื่นคือ ที่กำหนดโดย Max Born และเป็นที่ยอมรับมากที่สุดในปัจจุบันโดยชุมชนวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับวิธีตีความฟังก์ชันคลื่นควอนตัม เราเรียกการตีความนี้ว่า "อนุสัญญาโคเปนเฮเกน" มีการตีความอื่นๆ อีกหลายประการเกี่ยวกับฟังก์ชันคลื่นควอนตัม แต่ไม่สะดวกที่เราจะเห็นว่าฟังก์ชันอื่นนอกเหนือจากนี้มีความสำคัญที่สุดใน momento.