סקירה של Wave Concepts
כדי להבין בבירור מה מתארת פונקציית הגל, עלינו להבין תחילה מהו גל ומדוע מושג זה קשור למכניקת הקוונ טים.
בפיזיקה ישנם 2 סוגי גלים המוכרים לנו כיום: גלים מכניים (אשר תלויים בתווך להתפשטות, כמו אוויר, גזים, מים, חומר בכלל. וגלים אלקטרומגנטיים (שאינם תלויים בתווך להתפשטות, אין צורך באינטראקציה עם חומר כדי להפריע למדיום, יכול לנוע בחלל ריק.)
1) גלים רוחביים ואורכיים: רוחבי (מצב התנודה שלהם אנכי, מלמעלה למטה, או להיפך). גלים אורכיים (מצב התנודה שלהם אופקי, הוא מתפשט מימין לשמאל או להיפך).
2) גלים אלקטרומגנטיים (אלה הם שילוב של גלים רוחביים של השדה החשמלי (באדום) + מגנטי (בכחול) = אלקטרומגנטי).
סוג הגל בו נתמקד כאן יהיה גלים רוחביים , כמו במודל זה שאליו מתוארים בדרך כלל פונקציית הגל הקוונטי, גלים אלקטרומגנטיים וגלים מכניים אחרים.
הכמויות המאפיינות גל הן התדר (𝑓), אורך הגל (𝜆), התקופה (T) והמשרעת (A). כפי שראינו קודם לכן בסקירה קצרה של אלקטרומגנטיות, תדירות ואורך גל הם פרופורציונליים הפוך, כלומר, אם התדר (𝑓) גדל כך שאורך הגל יורד ולהיפך.
נתחיל בהגדרת אורך הגל (𝜆) . כדי לקבוע את 𝜆 של גל רוחבי, אנו לוקחים אותו מפסגה לפסגה, או פשוט מעמק לעמק או בהתאם למקרה לציר הסימטריה (שיווי המשקל). זה אומר לנו ש𝜆 מייצג מחזור שלם, סיבוב שלם. זה אומר שאם נספור את 𝜆 שלנו מפסגה, כאשר הגל מפתח את כל תנועתו עד שהוא חוזר לאותו "פסגה" שאנו מכנים פסגה, זוהי תנועה מחזורית, שחוזרת על עצמה עם אותם מאפיינים מנקודת ייחוס.
בידיעה זו עלינו לזכור כי 𝜆 לא נמדד במעלות אלא ברדיאנים. מוסכמה להקלת חישובים, שכן יש לנו פונקציות בעלות מאפיינים מחזוריים במתמטיקה כמו הפונקציות סינוס (Sen(x)) ו-Cosine (Cos(x)). אז נערבב ישירות את הטריגונומטריה ואת ה מעגל טריגונומטרי כדי שנוכל לקשר טוב יותר איך הוא מתאר גל.
התמונה הראשונה מציגה את הצילומים על הציר של איזון כדלקמן 0º, 90º (𝜋/2), 180º ( 𝜋), 270º (3𝜋/2) ו-360º (2𝜋). ההתייחסות שאנו לוקחים כדי למדוד את אורך הגל בתמונה הראשונה הזו היא בדיוק ציר הסימטריה (שיווי המשקל) כי שם אנחנו מתחילים למדוד את הגל. אז 1 𝜆 שלם שווה ל 360º (2𝜋), כלומר מחזור שלם. זה אומר שאם הגל להמשיך להפיץ את זה יחזור על עצמו בלי סוף מאותה נקודת סימטריה שאנו מתייחסים אליה כדי למדוד את 𝜆.
התמונה השנייה עוזרת לנו לדמיין בדיוק איך המעגל הטריגונומטרי מתאר גל. עם זה אנחנו צריכים להגדיר כמויות אחרות כדי להבין כיצד לתאר גל במלואו. השני מאפיין שאנו עומדים לעסוק בו, המוצג בתמונה הקודמת, השניים שלמעלה הם משרעת.
משרעת היא ערך שאומר לנו את המרחק מציר הסימטריה לפסגה ומציר הסימטריה לעמק. מכיוון שהגל הוא תופעה מתנודדת וציר הסימטריה שלו הוא סימן 0 של ההתייחסות שלנו, המשרעת משתנה בערכו מחיובי לשלילי או להיפך.
פרמטר חשוב נוסף שאנחנו צריכים כדי לתאר גל הוא התקופה וה- תדר גלים. שניהם קשורים זה לזה שכן התקופה היא היפוך של התדר ולהיפך.
-
תדירות: זהו הכמות או המספר של מחזורים שלמים המבוצעים במרווח של שנייה אחת. היחידה שלו ניתנת בהרץ (הרץ)
f- תדר; תקופה T; 𝜔 - תדר זוויתי
התמונה למטה מציגה את הקשר של גל ל-a תדר נמוך וגל עם תדר גבוה, מספר המחזורים השלמים בגל בתדר נמוך קטן ממספר המחזורים השלמים בגל בתדר גבוה.
שימו לב שאם אנחנו מגבירים את התדירות של גל, אנחנו מורידים גם פרמטר נוסף, שכבר ראינו באפקט הפוטואלקטרי. אם גל של בתדר נמוך יש מספר קטן יותר של מחזורים שלמים בשנייה אחת, כלומר 𝜆 הוא מאפיין. עכשיו אם נגדיל את תדירות גל כתוצאה מכך, המחזורים גדלים באותו מרווח זמן של שנייה אחת, ובכך 𝜆 יורד. אנו יכולים אפוא להסיק שאם 𝑓 גדל אז 𝜆 יורד, כלומר הם ביחס הפוך.
-
תקופה: זהו משך הזמן הנדרש לכל גוף כדי להשלים מהפכה אחת, מחזור אחד. במילים אחרות, הזמן שלוקח לגוף להשלים מהפכה אחת. היחידה שלו ניתנת בשניות (שניות). כפי שאנו יודעים תקופה ותדירות הם יחסים הפוכים, המשוואה נראית כך:
⚠︎ הערה: זה עשוי להיראות מבלבל למי שלא שם לב, כנראה ש- 𝜆 ו-T זהים, או שנראה שכן. זהירות! הם לא ! 𝜆 יש יחידות של מטרים (מ') ב-SI (מערכת בינלאומית) זה אומר לנו היכן הגל שלנו מתחיל ועד כמה הוא "מסתיים", אם ניקח בחשבון את הגל כסופי. זה פשוט מאפיין מהי התחלה וסוף של גל בחלל. כעת לתקופה T יש ממד זמן ב-SI, אשר ניתן בשניות (s), כלומר, הוא מראה לנו כמה זמן לוקח לגל להשלים מחזור אחד, מהפכה אחת שלמה, במילים אחרות 𝜆. ואז T אומר לנו כמה זמן לקח להגיע ל"סוף" הגל, (כלומר איפה בואו ננתח היא שוב התפשטה אל לעזוב משם היא אלך לחזור שוב.
-
תדר זוויתי: מודד כמה מהר עוברת זווית הפאזה. זווית הפאזה מתאימה למיקום הגוף המתנודד. במילים אחרות כמה מהר מסתיים מחזור. יחידת ה-SI של 𝜔 היא רדיאנים לשנייה (רד/s). אנו יכולים להגדיר 𝜔 כפונקציה של 𝑓 או T. ראה:
עד כה הגדרנו את הפרמטרים העיקריים שאנו צריכים כדי להגדיר גל בפיזיקה. כעת נגדיר את מה שאנו מכנים פונקציית הגל, כלומר פונקציית גל הזמן כפי שעשינו בקינמטיקה. אבל כדי להבין בבירור מה מתארת פונקציית הגל, בואו נסתכל על הגדרה מדויקת יותר של גל בצורה מושגית. גל הוא לא יותר מגל הפרעה במדיום המעביר אנרגיה מנקודה אחת לאחרת. גלים אינם מחליפים חומר, רק אנרגיה. קחו למשל את האנימציה להלן:
ראה את התמונה הראשונה. כשאנחנו מדברים על פונקציית הגל מה שאנחנו באמת רוצים לדעת זה איפה בדיוק הנקודה השחורה היא. שימו לב שנקודה זו מתנודדת בכל רגע של זמן, כלומר, מיקומה ביחס לציר ה-y משתנה עם הזמן. כדי להגדיר גל עצמו, עלינו לדמיין את אותה נקודה מפוזרת לאורך הגל כמו בתמונה השנייה, שתי התמונות מכבדות את הגדרת הגל שעשינו קודם לכן. ראו שהנקודות אינן זזות בציר X, אלא הפרעה של גל שמתפשט במרחב שאנו מגדירים כגל. הנקודות פשוט עולות ויורדות ברציפות. וכדי לעשות זאת באופן מתמטי, פונקציית הגל תצטרך 2 משתנים. המשתנה x שיראה לנו היכן נמצא הגל במרחב ומשתנה הזמן t, כדי שנדע באיזה רגע של זמן הוא נמצא ב-x.
A - משרעת; t - זמן; 𝜔 - תדר זוויתי; 𝜙 - זווית פאזה
שימו לב שבמשוואה יש כמעט את כל הפרמטרים שראינו שמתארים את הגל. המשרעת (A) המתארת את המרחק מהפסגה והשפל של ציר הסימטריה (שיווי המשקל), הגורם (𝜔t) שאומר לנו כמה מהר מסתיים מחזור, והאחרון שעדיין לא הזכרנו הוא (𝜙) מה שנקרא זווית פאזה, נוכל לשייך אותה למיקום ההתחלתי (So) של משוואת הזמן בקינמטיקה, הם אומרים לנו באיזו זווית אנחנו מתחילים לנתח את הגל ואיך הוא מתחיל את תנועתו. כל הפרמטרים הללו מספיקים כדי לתאר גל המתפשט בחלל.
כעת נוכל להבין טוב יותר מה מתארת פונקציית גל ומה היא מנתחת בפועל, ואת התכונות העיקריות שלה. כעת אנו מוכנים לחקור את פונקציית הגל ואת המוזרויות שלה ביחס לפונקציית הגל הקלאסית.