复数
复数，或者更确切地说是复数集，在量子力学中很重要，因为许多描述量子现象的解决方案在计算中都需要这个集。什么是复数 ？🤔
由 (ℂ) 表示的复数集合（复数）只是另一个数学集合，它允许其他集合不允许的值。例如，负平方根。如果你记得你的数学课，你可能还记得下图。
ℚ 合理的
7/6
-8
-3
2.9
-3
8
-9
4
5
ℤ 整数
ℕ 自然的
0
3
8
9
4
5
ℝ 真实的
7/6
-15
-3
2.9
ℂ 配合物
√-1
2+4i
cos(θ) + i sin(θ)
𝕀 非理性的
π
φ
√4
-12/14
0
这张图告诉我们的是，复数集合包含了其他集合的所有其他值。它包含自然数 (ℕ)、整数 (ℤ)、有理数 (ℚ)、实数 (ℝ) 和无理数 (𝕀) 的解。
为了更好地理解复数具有几何表示。这个集合无非是笛卡尔平面上的一个二维表示，(x)轴代表ℝ集合，(y)轴代表虚值(Im)。这些虚数是什么？
虚数是 简单地 复合体的一个子集。为了能够以代数方式表示复数的值， 我们必须在这两个其他子集之间进行组合。为了更好地理解，请参见下图。
ℂ 配合物
ℝ 真实的
𝕀m 假想
7/6
-3
2.9
√4
ℕ
ℤ
ℚ
𝕀
+
因此称为虚数 (𝕀m) 的复数的子集（子群）表示为：
和
是的！虚数内是 可能的 负数的平方根的存在。虚数的通常表示法就是字母 (i)，如上式所示，i² 存在等于 √-1 的关系。
因此，要以代数方式表示复数，符号为：
︸
复数
︸
实部
︸
虚部
我们记得上面显示的最后一组，它与描述完全匹配 代数的 的复数。其中 (a) 和 (b) 是实数 ℝ 而 (i) 是 虚构的（𝕀m）。也就是说，复数只不过是 放 真实的，但与想象的解决方案部分作为补充项。换句话说 放 复数 (ℂ) 是比实数 ( ℝ) 更全面的集合，因为它采用的解比它多。
命名法是一个事实 数学家用于集合可能有点混乱。实数和复数并不意味着一个集合“存在于现实世界中”，而另一个集合很难、难以处理，这就是它们被称为复数的原因。不！它与它无关。但是，尽管在对待它们的意义上存在疑问，但该命名法被接受并被传递下去。要了解需要这个复数的真正原因，让我们真正了解数字的平方幂是什么以及它实际代表什么。
什么数乘以自身得到 49？好吧，我们知道 7.7 等于 49，但为了更好地理解，让我们在两边表示数字 1，因为任何东西乘以 1 本身就是为了理解这个概念。
所以我们可以看到，如果我们根据乘积 (-).(-) = + 的符号规则对任何值（无论是正值还是负值）做同样的事情，如果我们有一个总是偶数的幂，我们将永远不会有一个负的结果， 正确的？
查看一行中的数字，我们可以看到 1x1=1 没有变化：
-1
0
1
如果我们这样做也会发生同样的情况 乘法 对于负数，(-1) x (-1) = +1 不变：箭头将向左（负轴方向）并以相同的相乘值返回正轴。
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
现在的问题是，什么值 我们会有 乘以它本身会给我们一个否定的结果吗？怎么可能将一个数字提高到像数字 2 这样的偶数次方并得到负数？这就是复数和虚数的想法出现的地方。没有什么能阻止我们进行旋转，并创建具有重要特征的第二个垂直轴，该轴仅包含虚数。
一世
-1
0
1
-一世
_cc781905-5cde-3194-bad5cf-1复数是如上所示的平面表示，其中对于平面上的一个点需要两个值（实轴（ℝ）；虚轴（𝕀m））。这个平面被称为 Argand Gauss 平面。
Certo, revemos isso tudo até aqui, mas porque mesmo? Bom para entender de onde se deriva a equação de Schrödinger, teríamos que compreender um curso todo de equações diferenciais parciais, que não nos é conveniente aqui. Então estou usando uma analogia associativa com o que você aluno do ensino médio ja deveria ter visto até então. O importante a se relacionar dos números complexos a equação de Schrödinger é que ela mesma resolve uma função chamada complexa! E o que fisicamente queremos extrair desta equação é um valor numérico que ficará claro ao final da sessão "A função de onda quântica". Então dito isso, como então extraímos esse valor que nos interessa dentro da física de uma função complexa?
Como citamos anteriormente a função complexa é composta por uma parte real e uma parte imaginária, a questão é que a parte imaginária não têm um análogo físico, ou uma relação física que a associe ao um resultado de um fenômeno físico, e sim a parte real é a que faz mas sentido em ser usada, uma vez que ja dissemos que a parte imaginária é simplesmente uma abstração matemática para conseguirmos resolver um problema matemático, ela não existe literalmente (me atrevo a dizer que o nome "Imaginário" não foi posto atoa neste termo (i) na matemática). Então para extrairmos o resultado real, fisico, significativo para nós de uma função complexa, nós dizemos que tiraremos o seu módulo! E tomar o módulo de um número complexo tem uma particularidade com o módulo usualmente visto na álgebra convencional demonstrada abaixo:
Onde (z) é um número complexo e (z*) é o complexo conjugado
Quando citamos retirar o módulo de alguma variável, seria multiplicar seu valor por ele mesmo, ou seja, no caso desta função (z) se não fosse complexa, seu módulo seria: |z| = z • z . Mas com os números complexos não são bem assim, o módulo dele é multiplicado pelo seu termo seu mesmo fator mas com sinal trocado, que chamamos de Conjugado na matemática que geralmente é representado com um asterisco acima da variável (*) como mostra a equação anterior e a equação abaixo!
︸
︸
Complexo Conjugado
Complexo Conjugado
E isso é feito pois, a parte imaginária é um abstração matemática para simplesmente resolvermos problemas matemáticos no qual os Reais não têm soluções, como descrito anteriormente na página. E fazendo isso, os termos que contêm a parte imaginária serão cancelados apenas sobrando a solução real que de fato conseguimos representar no mundo físico, real.
Onde já definimos que o fator complexo ao quadrado como:
Sendo assim temos então que o módulo de um número complexo é:
Equação algébrica para o módulo a função complexa (z)
Então como provado, apenas os termos reais da função complexa se mantém quando tomamos o seu módulo. E isso é importante pois é com ele que realmente iremos utilizar para determinarmos os valores reais da função de onda quântica.
Há também um outra relação que aparece também frequente em mecânica quântica, que apenas vamos mostrar, pois a dedução dela é um pouco extensa e que deriva de uma relação semelhante a equação algébrica, mas na forma trigonométrica. Esta relação é a relação de Euler, dada pela seguinte expressão:
Relação trigonométrica da função complexa
Relação de Euler para os números complexos