Комплексні числа
Комплексні числа, а точніше Набір комплексних чисел, важливі в квантовій механіці, оскільки багато рішень, що описують квантові явища, вимагають цього набору в своїх розрахунках. А що таке комплексні числа?🤔
Набір комплексів (комплексних чисел), позначений (ℂ), є ще одним математичним набором, який допускає значення, яких немає в інших наборах. Наприклад, від’ємні квадратні корені. Якщо ви пам’ятаєте свої уроки математики, ви можете згадати наступну схему.
ℚ раціональний
7/6
-8
-3
2.9
-3
8
-9
4
5
ℤ цілі числа
ℕ природний
0
3
8
9
4
5
ℝ Справжній
7/6
-15
-3
2.9
ℂ комплекси
√-1
2+4i
cos(θ) + i sin(θ)
𝕀 ірраціональний
π
φ
√4
-12/14
0
Ця діаграма говорить нам про те, що множина комплексів охоплює всі інші значення інших множин. Він містить розв’язки натуральних (ℕ), цілих (ℤ), раціональних (ℚ), дійсних (ℝ) та ірраціональних (𝕀).
Для кращого розуміння комплексні числа мають геометричне зображення. Цей набір являє собою не що інше, як двовимірне представлення на декартовій площині, причому вісь (x) представляє набір ℝ, а вісь (y) представляє уявні значення (Im). Якими будуть ці уявні числа?
Уявні числа є просто підмножина Комплексів. Щоб мати можливість алгебраїчно представити значення комплексних чисел, ми повинні мати комбінацію між цими двома іншими підмножинами. Для кращого розуміння дивіться діаграму нижче.
ℂ комплекси
ℝ Справжній
𝕀м Уявний
7/6
-3
2.9
√4
ℕ
ℤ
ℚ
𝕀
+
Отже, підмножина (підгрупа) комплексів, які називаються уявними числами (𝕀m), представлена:
І
Так! В межах уявних чисел є можливо існування квадратного кореня з від’ємних чисел. Звичайним позначенням для уявних чисел є буква (i), і, як показує наведене вище рівняння, існує відношення i², яке дорівнює √-1.
Отже, щоб алгебраїчно представити комплексні числа, позначення:
︸
Комплексне число
︸
реальна частина
︸
уявна частина
Там, де ми пам’ятаємо останній набір, який ми показали вище, він точно відповідає опису алгебраїчний комплексних чисел. Де (a) і (b) є дійсними числами ℝ, а (i) є частиною уявний (𝕀m). Тобто комплексні числа є не що інше, як число набір дійсних, але з уявною частиною розв’язку як додатковим терміном. Іншими словами набір комплекси (ℂ) є більш комплексними, ніж дійсні ( ℝ), тому що він приймає більше рішень, ніж він.
Фактом є те, що номенклатура використання математиками для множин може бути дещо заплутаним. Дійсні числа та комплексні числа не означають, що одна множина «існує в реальному світі», а інша – складна, з якою важко працювати, тому їх називають складними. Ні! Це не має нічого спільного з цим. Але номенклатура була прийнята як така і передана, незважаючи на те, що вона була сумнівною в тому сенсі, в якому вони розглядаються. Щоб зрозуміти справжню причину, чому знадобилося це комплексне число, давайте дійсно розберемося, що таке квадратна ступінь числа і що вона насправді представляє.
Яке число, помножене на себе, дає 49? Ну, ми знаємо, що 7,7 дорівнює 49, але, щоб краще зрозуміти, давайте представимо число 1 з обох сторін, оскільки множення чого-небудь на 1 є самим собою, щоб отримати ідею.
Отже, ми бачимо, що якщо ми робимо те саме для будь-яких значень, чи то позитивних, так і негативних, за правилом знака добутку (-).(-) = + , якщо ми маємо завжди парну ступінь, ми ніколи не матимемо негативного результату , так?
Переглядаючи числа в одному рядку, ми бачимо, що 1x1=1 не змінюється:
-1
0
1
Те саме станеться, якщо ми зробимо множення з від’ємними числами (-1) x (-1) = +1 не змінюється: стрілка буде рухатися ліворуч (напрямок від’ємної осі) і повертатися до додатної осі в тому самому помноженому значенні.
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
Тепер проблема в тому, яка вартість ми б мали помножене на себе дає нам негативний результат? Як можна піднести число до парного степеня, як число 2, і отримати від’ємне значення? Ось тут і з’являється ідея комплексних та уявних чисел. Ніщо не заважає нам зробити обертання, і створити другу вертикальну вісь з важливою характеристикою, ця вісь містить лише уявні числа.
я
-1
0
1
-я
_cc781905-5cde-3194-13bd_ тепер ми маємо складну геометричну форму, щоб представляти геометричну форму. Комплексні числа є плоским представленням, як показано вище, де для точки на площині необхідні два значення (дійсна вісь (ℝ); уявна вісь (𝕀m)). Ця площина називається площиною Арганда Гаусса.
Certo, revemos isso tudo até aqui, mas porque mesmo? Bom para entender de onde se deriva a equação de Schrödinger, teríamos que compreender um curso todo de equações diferenciais parciais, que não nos é conveniente aqui. Então estou usando uma analogia associativa com o que você aluno do ensino médio ja deveria ter visto até então. O importante a se relacionar dos números complexos a equação de Schrödinger é que ela mesma resolve uma função chamada complexa! E o que fisicamente queremos extrair desta equação é um valor numérico que ficará claro ao final da sessão "A função de onda quântica". Então dito isso, como então extraímos esse valor que nos interessa dentro da física de uma função complexa?
Como citamos anteriormente a função complexa é composta por uma parte real e uma parte imaginária, a questão é que a parte imaginária não têm um análogo físico, ou uma relação física que a associe ao um resultado de um fenômeno físico, e sim a parte real é a que faz mas sentido em ser usada, uma vez que ja dissemos que a parte imaginária é simplesmente uma abstração matemática para conseguirmos resolver um problema matemático, ela não existe literalmente (me atrevo a dizer que o nome "Imaginário" não foi posto atoa neste termo (i) na matemática). Então para extrairmos o resultado real, fisico, significativo para nós de uma função complexa, nós dizemos que tiraremos o seu módulo! E tomar o módulo de um número complexo tem uma particularidade com o módulo usualmente visto na álgebra convencional demonstrada abaixo:
Onde (z) é um número complexo e (z*) é o complexo conjugado
Quando citamos retirar o módulo de alguma variável, seria multiplicar seu valor por ele mesmo, ou seja, no caso desta função (z) se não fosse complexa, seu módulo seria: |z| = z • z . Mas com os números complexos não são bem assim, o módulo dele é multiplicado pelo seu termo seu mesmo fator mas com sinal trocado, que chamamos de Conjugado na matemática que geralmente é representado com um asterisco acima da variável (*) como mostra a equação anterior e a equação abaixo!
︸
︸
Complexo Conjugado
Complexo Conjugado
E isso é feito pois, a parte imaginária é um abstração matemática para simplesmente resolvermos problemas matemáticos no qual os Reais não têm soluções, como descrito anteriormente na página. E fazendo isso, os termos que contêm a parte imaginária serão cancelados apenas sobrando a solução real que de fato conseguimos representar no mundo físico, real.
Onde já definimos que o fator complexo ao quadrado como:
Sendo assim temos então que o módulo de um número complexo é:
Equação algébrica para o módulo a função complexa (z)
Então como provado, apenas os termos reais da função complexa se mantém quando tomamos o seu módulo. E isso é importante pois é com ele que realmente iremos utilizar para determinarmos os valores reais da função de onda quântica.
Há também um outra relação que aparece também frequente em mecânica quântica, que apenas vamos mostrar, pois a dedução dela é um pouco extensa e que deriva de uma relação semelhante a equação algébrica, mas na forma trigonométrica. Esta relação é a relação de Euler, dada pela seguinte expressão:
Relação trigonométrica da função complexa
Relação de Euler para os números complexos