מספרים מסובכים
מספרים מורכבים, או ליתר דיוק קבוצת המספרים המורכבים, חשובים במכניקת הקוונטים מכיוון שרבים מהפתרונות המתארים תופעות קוונטיות דורשים קבוצה זו בחישוביהם. ומה זה מספרים מרוכבים?🤔
קבוצת הקומפלקסים (מספרים מורכבים) המסומנת ב- (ℂ), היא רק עוד קבוצה מתמטית המאפשרת ערכים שקבוצות אחרות לא מאפשרות. לדוגמה, שורשים ריבועיים שליליים. אם אתה זוכר את שיעורי המתמטיקה שלך, אולי תזכור את התרשים הבא.
ℚ רציונלי
7/6
-8
-3
2.9
-3
8
-9
4
5
ℤ מספרים שלמים
ℕ טבעי
0
3
8
9
4
5
ℝ אמיתי
7/6
-15
-3
2.9
ℂ מתחמים
√-1
2+4i
cos(θ) + i sin(θ)
𝕀 לא הגיוני
π
φ
√4
-12/14
0
מה שהתרשים הזה אומר לנו הוא שקבוצת המתחמים מקיפה את כל שאר הערכים של הקבוצות האחרות. הוא מכיל את הפתרונות של טבעיים (ℕ), מספרים שלמים (ℤ), רציונלים (ℚ), ריאליים (ℝ) ואי-רציונליים (𝕀).
כדי להבין טוב יותר מספרים מרוכבים יש ייצוג גיאומטרי. קבוצה זו אינה אלא ייצוג דו מימדי במישור קרטזיאני, כאשר ציר (x) מייצג את קבוצת ℝ וציר (y) מייצג את הערכים המדומים (Im). מה יהיו המספרים הדמיוניים האלה?
המספרים הדמיוניים הם בפשטות תת-קבוצה של המתחמים. כדי להיות מסוגלים לייצג את הערכים באופן אלגברי של המספרים המרוכבים, עלינו לקבל את השילוב בין שתי קבוצות המשנה האחרות הללו. להבנה טובה יותר, עיין בתרשים שלהלן.
ℂ מתחמים
ℝ אמיתי
𝕀מ דמיוני
7/6
-3
2.9
√4
ℕ
ℤ
ℚ
𝕀
+
אז תת-הקבוצה (תת-קבוצה) של המתחמים הנקראים המספרים המדומים (𝕀m) מיוצגת על ידי:
ו
כן! בתוך המספרים הדמיוניים נמצא אפשרי קיומו של שורש ריבועי של מספרים שליליים. הסימון הרגיל למספרים דמיוניים הוא רק האות (i), וכפי שהמשוואה לעיל מראה, יש קשר של i² ששווה ל- √-1.
אז כדי לייצג את המספרים המרוכבים באופן אלגברי, הסימון הוא:
︸
מספר מורכב
︸
חלק אמיתי
︸
חלק דמיוני
היכן שאנו זוכרים את הסט האחרון שהצגנו למעלה, הוא תואם בדיוק לתיאור אלגברי של מספרים מרוכבים. כאשר (a) ו-(ב) הם מספרים ממשיים ℝ ו-(i) הוא חלק מה- דמיוני (𝕀m). במילים אחרות, מספרים מרוכבים הם לא יותר מה מערכת של האמיתיים אבל עם חלק הפתרון הדמיוני כמונח משלים. במילים אחרות ה מערכת המתחמים (ℂ) הוא הסט מקיף יותר מהריאלים ( ℝ) מכיוון שהוא מאמץ יותר פתרונות ממנו.
עובדה היא שהמינוח בשימוש על ידי מתמטיקאים עבור קבוצות יכול להיות קצת מבלבל. מספרים אמיתיים ומספרים מורכבים לא אומר שקבוצה אחת "קיימת בעולם האמיתי" והקבוצה השנייה קשה, מסובכת לעבודה, לכן הם נקראים מורכבים. לא! זה לא קשור. אבל המינוח התקבל ככזה והועבר הלאה, למרות היותו מפוקפק במובן שבו מתייחסים אליהם. כדי להבין את הסיבה האמיתית מדוע היה צורך במספר מרוכב זה, בואו נבין באמת מהי חזקה ריבועית של מספר ומה הוא בעצם מייצג.
איזה מספר מוכפל בעצמו נותן 49? ובכן, אנחנו יודעים ש-7.7 שווה ל-49, אבל כדי להבין טוב יותר, בואו נציג את המספר 1 משני הצדדים, מכיוון שכפל כל דבר ב-1 הוא עצמו, רק כדי להבין את הרעיון.
אז אנחנו יכולים לראות שאם נעשה את אותו הדבר עבור ערכים כלשהם, בין אם חיוביים או שליליים, לפי כלל הסימנים של המכפלה (-).(-) = + , אם יש לנו כוח תמיד שווה, לעולם לא תהיה תוצאה שלילית , ימין?
בהסתכלות על המספרים בשורה אחת, אנו יכולים לראות ש-1x1=1 אינו משתנה:
-1
0
1
אותו דבר יקרה אם נעשה את כפל עם מספרים שליליים, (-1) x (-1) = +1 לא משתנה: החץ יפנה שמאלה (כיוון ציר שלילי) ויחזור לציר החיובי באותו ערך מוכפל.
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
הבעיה עכשיו היא, איזה ערך יהיה לנו כפול בעצמו נותן לנו תוצאה שלילית? איך אפשר להעלות מספר לחזקה זוגית כמו המספר 2 ולקבל שלילי? כאן נכנס הרעיון של מספרים מורכבים ודמיוניים. שום דבר לא מונע מאיתנו לעשות סיבוב, וליצור ציר אנכי שני עם מאפיין חשוב, הציר הזה מכיל רק את המספרים הדמיוניים.
אני
-1
0
1
-אני
_cc781905-5cde-3194-bb3b-1581905-5cde-3194-bb3b-136bad5cf58d_ עכשיו מספרים מורכבים הם ייצוג מישורי כפי שמוצג לעיל, כאשר עבור נקודה במישור יש צורך בשני ערכים (ציר אמיתי (ℝ); ציר דמיוני (𝕀m)). מטוס זה נקרא מטוס ארגנד גאוס.
Certo, revemos isso tudo até aqui, mas porque mesmo? Bom para entender de onde se deriva a equação de Schrödinger, teríamos que compreender um curso todo de equações diferenciais parciais, que não nos é conveniente aqui. Então estou usando uma analogia associativa com o que você aluno do ensino médio ja deveria ter visto até então. O importante a se relacionar dos números complexos a equação de Schrödinger é que ela mesma resolve uma função chamada complexa! E o que fisicamente queremos extrair desta equação é um valor numérico que ficará claro ao final da sessão "A função de onda quântica". Então dito isso, como então extraímos esse valor que nos interessa dentro da física de uma função complexa?
Como citamos anteriormente a função complexa é composta por uma parte real e uma parte imaginária, a questão é que a parte imaginária não têm um análogo físico, ou uma relação física que a associe ao um resultado de um fenômeno físico, e sim a parte real é a que faz mas sentido em ser usada, uma vez que ja dissemos que a parte imaginária é simplesmente uma abstração matemática para conseguirmos resolver um problema matemático, ela não existe literalmente (me atrevo a dizer que o nome "Imaginário" não foi posto atoa neste termo (i) na matemática). Então para extrairmos o resultado real, fisico, significativo para nós de uma função complexa, nós dizemos que tiraremos o seu módulo! E tomar o módulo de um número complexo tem uma particularidade com o módulo usualmente visto na álgebra convencional demonstrada abaixo:
Onde (z) é um número complexo e (z*) é o complexo conjugado
Quando citamos retirar o módulo de alguma variável, seria multiplicar seu valor por ele mesmo, ou seja, no caso desta função (z) se não fosse complexa, seu módulo seria: |z| = z • z . Mas com os números complexos não são bem assim, o módulo dele é multiplicado pelo seu termo seu mesmo fator mas com sinal trocado, que chamamos de Conjugado na matemática que geralmente é representado com um asterisco acima da variável (*) como mostra a equação anterior e a equação abaixo!
︸
︸
Complexo Conjugado
Complexo Conjugado
E isso é feito pois, a parte imaginária é um abstração matemática para simplesmente resolvermos problemas matemáticos no qual os Reais não têm soluções, como descrito anteriormente na página. E fazendo isso, os termos que contêm a parte imaginária serão cancelados apenas sobrando a solução real que de fato conseguimos representar no mundo físico, real.
Onde já definimos que o fator complexo ao quadrado como:
Sendo assim temos então que o módulo de um número complexo é:
Equação algébrica para o módulo a função complexa (z)
Então como provado, apenas os termos reais da função complexa se mantém quando tomamos o seu módulo. E isso é importante pois é com ele que realmente iremos utilizar para determinarmos os valores reais da função de onda quântica.
Há também um outra relação que aparece também frequente em mecânica quântica, que apenas vamos mostrar, pois a dedução dela é um pouco extensa e que deriva de uma relação semelhante a equação algébrica, mas na forma trigonométrica. Esta relação é a relação de Euler, dada pela seguinte expressão:
Relação trigonométrica da função complexa
Relação de Euler para os números complexos