Nombres complexes
Les nombres complexes, ou plutôt l'ensemble des nombres complexes, sont importants en mécanique quantique car de nombreuses solutions décrivant les phénomènes quantiques nécessitent cet ensemble dans leurs calculs. Et qu'est-ce que les nombres complexes ?🤔
L'ensemble des complexes (nombres complexes) désigné par (ℂ), n'est qu'un autre ensemble numérique de mathématiques qui permet des valeurs que d'autres ensembles ne permettent pas. Par exemple, les racines carrées négatives. Si vous vous souvenez de vos cours de mathématiques, vous vous souviendrez peut-être du schéma suivant.
ℚ Racionais
7/6
-8
-3
2.9
-3
8
-9
4
5
ℤ Integers
ℕ Naturels
0
3
8
9
4
5
ℝ Reais
7/6
-15
-3
2.9
ℂ Complexes
√-1
2+4i
cos(θ) + je sin(θ)
𝕀 Irracionais
π
φ
√4
-12/14
0
Ce que nous dit ce diagramme, c'est que l'ensemble des complexes englobe toutes les autres valeurs des autres ensembles. Il contient les solutions des Naturels (ℕ), des Entiers (ℤ), des Rationnels (ℚ), des Réels (ℝ) et des Irrationnels (𝕀).
Pour mieux comprendre les nombres complexes ayez une représentation géométrique. Cet ensemble n'est rien de plus qu'une représentation bidimensionnelle sur un plan cartésien, avec l'axe (x) représentant l'ensemble ℝ et l'axe (y) représentant les valeurs imaginaires (Im). Quels seraient ces nombres imaginaires ?
Les nombres imaginaires sont simplement un sous-ensemble des Complexes. Pour pouvoir représenter algébriquement les valeurs des nombres complexes, nous devons avoir la combinaison entre ces deux autres sous-ensembles. Pour une meilleure compréhension voir le schéma ci-dessous.
ℂ Complexes
ℝ Reais
𝕀m Imaginaire
7/6
-3
2.9
√4
ℕ
ℤ
ℚ
𝕀
+
Alors le sous-ensemble (un sous-groupe) des Complexes appelés Nombres Imaginaires (𝕀m) est représenté par :_cc781905-5cde-3194-bb3b-136bad5
ET
Oui ! À l'intérieur des nombres imaginaires is possible l'existence de la racine carrée des nombres négatifs. La notation habituelle pour les nombres imaginaires est juste la lettre (i), et comme le montre l'équation ci-dessus, il existe une relation de i² étant égal à √-1.
Então para representarmos de forma algébrica os números complexos a notação fica:
︸
Nombre complexe
︸
partie réelle
︸
partie imaginaire
Où si nous nous souvenons du dernier ensemble présenté ci-dessus, il correspond exactement à la description algébrique des nombres complexes. Où (a) et (b) sont des nombres réels ℝ et (i) fait partie de dos imaginaire (𝕀m). Autrement dit, les nombres complexes ne sont rien de plus que o Positionner des vrais mais avec la partie solution imaginaire comme terme complémentaire. En d'autres termes o Positionner the complexes (ℂ) est l'ensemble le plus complet que les Reais (ℝ) pour avoir adopté plus de solutions que lui.
C'est un fait que la nomenclature_cc781905-5cde-bad_3194-36utilisé par les mathématiciens pour les ensembles peut être un peu déroutant. Les nombres réels et les nombres complexes ne signifient pas qu'un ensemble "existe dans le monde réel" et que l'autre est un ensemble difficile, compliqué à travailler, c'est pourquoi ils sont appelés complexes. Non! Cela n'a rien à voir avec cela. Mais la nomenclature a été acceptée telle quelle et transmise, bien qu'elle soit douteuse dans le sens où elle est traitée. Pour comprendre la vraie raison pour laquelle ce nombre complexe était nécessaire, comprenons vraiment ce qu'est une puissance carrée d'un nombre et ce qu'elle représente réellement.
_cc781905-5cde-3194-bb3b5cf-136 What does _cc781905-5cde-3194-bb3b5cf-136 result in? Eh bien, nous savons que 7,7 est égal à 49, mais pour mieux comprendre, représentons le nombre 1 des deux côtés, puisque multiplier n'importe quoi par 1 est lui-même, juste pour avoir l'idée.
Assim podemos ver que se fizermos o mesmo para quais quer valores sejam eles positivos ou négatif, par la règle du signe du produit (-).(-) = + , si nous avons une puissance toujours paire nous n'aurions jamais un résultat négatif, n'est-ce pas ?
Visualizando os números em um linha podemos ver que, 1x1=1 não changements:
-1
0
1
O mesmo aconteceria se fizermos a multiplication avec des nombres négatifs, (-1) x (-1) = +1 ne change pas : la flèche irait vers la gauche (sens de l'axe négatif) et reviendrait à l'axe positif par le même multiplié valeur.
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
O problema agora é, que valor que_cc781905-5cde-3194-bb3b -136bad5cf58d_nous aurions multiplié par lui-même nous donne un résultat négatif ? Comment pourrait-il être possible d'élever un nombre à une puissance paire comme le nombre 2 et de devenir négatif ? C'est là qu'intervient l'idée de nombres complexes et imaginaires. Rien ne nous empêche de faire une rotation, et de créer un deuxième axe vertical avec une caractéristique importante, cet axe ne contient que les nombres imaginaires.
je
-1
0
1
-je
Nous avons donc maintenant une forme géométrique pour représenter les complexes. Les nombres complexes sont une représentation plane comme indiqué ci-dessus, où pour un point sur le plan deux valeurs sont nécessaires (axe réel (ℝ); axe imaginaire (𝕀m)). Ce plan s'appelle le plan d'Argand Gauss.
Certo, revemos isso tudo até aqui, mas porque mesmo? Bom para entender de onde se deriva a equação de Schrödinger, teríamos que compreender um curso todo de equações diferenciais parciais, que não nos é conveniente aqui. Então estou usando uma analogia associativa com o que você aluno do ensino médio ja deveria ter visto até então. O importante a se relacionar dos números complexos a equação de Schrödinger é que ela mesma resolve uma função chamada complexa! E o que fisicamente queremos extrair desta equação é um valor numérico que ficará claro ao final da sessão "A função de onda quântica". Então dito isso, como então extraímos esse valor que nos interessa dentro da física de uma função complexa?
Como citamos anteriormente a função complexa é composta por uma parte real e uma parte imaginária, a questão é que a parte imaginária não têm um análogo físico, ou uma relação física que a associe ao um resultado de um fenômeno físico, e sim a parte real é a que faz mas sentido em ser usada, uma vez que ja dissemos que a parte imaginária é simplesmente uma abstração matemática para conseguirmos resolver um problema matemático, ela não existe literalmente (me atrevo a dizer que o nome "Imaginário" não foi posto atoa neste termo (i) na matemática). Então para extrairmos o resultado real, fisico, significativo para nós de uma função complexa, nós dizemos que tiraremos o seu módulo! E tomar o módulo de um número complexo tem uma particularidade com o módulo usualmente visto na álgebra convencional demonstrada abaixo:
Onde (z) é um número complexo e (z*) é o complexo conjugado
Quando citamos retirar o módulo de alguma variável, seria multiplicar seu valor por ele mesmo, ou seja, no caso desta função (z) se não fosse complexa, seu módulo seria: |z| = z • z . Mas com os números complexos não são bem assim, o módulo dele é multiplicado pelo seu termo seu mesmo fator mas com sinal trocado, que chamamos de Conjugado na matemática que geralmente é representado com um asterisco acima da variável (*) como mostra a equação anterior e a equação abaixo!
︸
︸
Complexo Conjugado
Complexo Conjugado
E isso é feito pois, a parte imaginária é um abstração matemática para simplesmente resolvermos problemas matemáticos no qual os Reais não têm soluções, como descrito anteriormente na página. E fazendo isso, os termos que contêm a parte imaginária serão cancelados apenas sobrando a solução real que de fato conseguimos representar no mundo físico, real.
Onde já definimos que o fator complexo ao quadrado como:
Sendo assim temos então que o módulo de um número complexo é:
Equação algébrica para o módulo a função complexa (z)
Então como provado, apenas os termos reais da função complexa se mantém quando tomamos o seu módulo. E isso é importante pois é com ele que realmente iremos utilizar para determinarmos os valores reais da função de onda quântica.
Há também um outra relação que aparece também frequente em mecânica quântica, que apenas vamos mostrar, pois a dedução dela é um pouco extensa e que deriva de uma relação semelhante a equação algébrica, mas na forma trigonométrica. Esta relação é a relação de Euler, dada pela seguinte expressão:
Relação trigonométrica da função complexa
Relação de Euler para os números complexos