Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen, oder besser gesagt die Menge der komplexen Zahlen, sind in der Quantenmechanik wichtig, weil viele der Lösungen, die Quantenphänomene beschreiben, diese Menge in ihren Berechnungen benötigen. Und was sind komplexe Zahlen?🤔
Der mit (ℂ) bezeichnete Satz von Komplexen (komplexen Zahlen) ist nur ein weiterer mathematischer Satz, der Werte zulässt, die andere Sätze nicht haben. Zum Beispiel negative Quadratwurzeln. Wenn Sie sich an Ihren Mathematikunterricht erinnern, erinnern Sie sich vielleicht an das folgende Diagramm.
ℚ rational
7/6
-8
-3
2.9
-3
8
-9
4
5
ℤ ganze Zahlen
ℕ natürlich
0
3
8
9
4
5
ℝ Real
7/6
-fünfzehn
-3
2.9
ℂ Komplexe
√-1
2+4i
cos(θ) + ich sin(θ)
𝕀 irrational
π
φ
√4
-12/14
0
Was uns dieses Diagramm sagt, ist, dass die Menge der Komplexe alle anderen Werte der anderen Mengen umfasst. Es enthält die Lösungen von Naturals (ℕ), Integers (ℤ), Rationals (ℚ), Reals (ℝ) und Irrationals (𝕀).
Zum besseren Verständnis haben komplexe Zahlen eine geometrische Darstellung. Diese Menge ist nichts anderes als eine zweidimensionale Darstellung auf einer kartesischen Ebene, wobei die (x)-Achse die Menge ℝ und die (y)-Achse die imaginären Werte (Im) darstellt. Was wären diese imaginären Zahlen?
Die imaginären Zahlen sind einfach eine Teilmenge der Komplexe. Um die Werte der komplexen Zahlen algebraisch darstellen zu können, müssen wir die Kombination zwischen diesen beiden anderen Teilmengen haben. Zum besseren Verständnis siehe das Diagramm unten.
ℂ Komplexe
ℝ Real
𝕀m Imaginär
7/6
-3
2.9
√4
ℕ
ℤ
ℚ
𝕀
+
Die Teilmenge (eine Untergruppe) der Komplexe, die als Imaginäre Zahlen (𝕀m) bezeichnet werden, wird also dargestellt durch:
UND
Ja! Innerhalb der imaginären Zahlen ist möglich die Existenz einer Quadratwurzel aus negativen Zahlen. Die übliche Notation für imaginäre Zahlen ist nur der Buchstabe (i), und wie die obige Gleichung zeigt, gibt es eine Beziehung, bei der i² gleich √-1 ist.
Um die komplexen Zahlen algebraisch darzustellen, lautet die Notation:
︸
Komplexe Zahl
︸
echter Teil
︸
Imaginärer Teil
Wo wir uns an das letzte Set erinnern, das wir oben gezeigt haben, stimmt es genau mit der Beschreibung überein algebraisch von komplexen Zahlen. Wobei (a) und (b) reelle Zahlen ℝ sind und (i) Teil von ist imaginär (𝕀m). Das heißt, komplexe Zahlen sind nichts anderes als die einstellen der realen, aber mit dem imaginären Lösungsteil als ergänzendem Begriff. Mit anderen Worten die einstellen Die Komplexe (ℂ) sind die umfassendere Menge als die Reellen ( ℝ), weil sie mehr Lösungen annehmen als sie.
Es ist eine Tatsache, dass die Nomenklatur von Mathematikern für Mengen verwendet wird, kann etwas verwirrend sein. Reelle Zahlen und komplexe Zahlen bedeuten nicht, dass eine Menge "in der realen Welt existiert" und die andere Menge schwierig und kompliziert zu handhaben ist, deshalb werden sie als komplex bezeichnet. Nein! Das hat damit nichts zu tun. Aber die Nomenklatur wurde als solche akzeptiert und weitergegeben, obwohl sie in dem Sinne zweifelhaft ist, in dem sie behandelt wird. Um den wahren Grund zu verstehen, warum diese komplexe Zahl benötigt wurde, wollen wir wirklich verstehen, was eine Quadratpotenz einer Zahl ist und was sie tatsächlich darstellt.
Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt 49? Nun, wir wissen, dass 7,7 gleich 49 ist, aber um es besser zu verstehen, stellen wir die Zahl 1 auf beiden Seiten dar, da alles mit 1 multipliziert wird, nur um die Idee zu bekommen.
Wir können also sehen, dass wir, wenn wir dasselbe für beliebige Werte tun, ob positiv oder negativ, durch die Vorzeichenregel des Produkts (-).(-) = + , wenn wir eine immer gleiche Potenz haben, wir niemals ein negatives Ergebnis erhalten würden , rechts?
Wenn wir die Zahlen in einer Zeile betrachten, können wir sehen, dass sich 1x1=1 nicht ändert:
-1
0
1
Dasselbe würde passieren, wenn wir das tun Multiplikation bei negativen Zahlen ändert sich (-1) x (-1) = +1 nicht: Der Pfeil würde nach links gehen (negative Achsrichtung) und mit dem gleichen multiplizierten Wert auf die positive Achse zurückkehren.
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
Das Problem ist nun, welchen Wert Wir würden haben multipliziert mit sich selbst gibt uns ein negatives Ergebnis? Wie könnte es möglich sein, eine Zahl wie die Zahl 2 mit einer geraden Potenz zu potenzieren und negativ zu werden? Hier kommt die Idee der komplexen und imaginären Zahlen ins Spiel. Nichts hindert uns daran, eine Drehung durchzuführen und eine zweite vertikale Achse mit einem wichtigen Merkmal zu erstellen, diese Achse enthält nur die imaginären Zahlen.
ich
-1
0
1
-ich
_cc781905-5cde-3194-bad5cf58d_ _cc781905-5cde-3194-bad5cf58d_ _cc781905-5cde-3194-bad5cf58d_ Wir haben also jetzt aes geometrische Form, um den Komplex darzustellen. Komplexe Zahlen sind eine planare Darstellung wie oben gezeigt, wobei für einen Punkt auf der Ebene zwei Werte benötigt werden (reelle Achse (ℝ); imaginäre Achse (𝕀m)). Diese Ebene wird Argand-Gauß-Ebene genannt.
Certo, revemos isso tudo até aqui, mas porque mesmo? Bom para entender de onde se deriva a equação de Schrödinger, teríamos que compreender um curso todo de equações diferenciais parciais, que não nos é conveniente aqui. Então estou usando uma analogia associativa com o que você aluno do ensino médio ja deveria ter visto até então. O importante a se relacionar dos números complexos a equação de Schrödinger é que ela mesma resolve uma função chamada complexa! E o que fisicamente queremos extrair desta equação é um valor numérico que ficará claro ao final da sessão "A função de onda quântica". Então dito isso, como então extraímos esse valor que nos interessa dentro da física de uma função complexa?
Como citamos anteriormente a função complexa é composta por uma parte real e uma parte imaginária, a questão é que a parte imaginária não têm um análogo físico, ou uma relação física que a associe ao um resultado de um fenômeno físico, e sim a parte real é a que faz mas sentido em ser usada, uma vez que ja dissemos que a parte imaginária é simplesmente uma abstração matemática para conseguirmos resolver um problema matemático, ela não existe literalmente (me atrevo a dizer que o nome "Imaginário" não foi posto atoa neste termo (i) na matemática). Então para extrairmos o resultado real, fisico, significativo para nós de uma função complexa, nós dizemos que tiraremos o seu módulo! E tomar o módulo de um número complexo tem uma particularidade com o módulo usualmente visto na álgebra convencional demonstrada abaixo:
Onde (z) é um número complexo e (z*) é o complexo conjugado
Quando citamos retirar o módulo de alguma variável, seria multiplicar seu valor por ele mesmo, ou seja, no caso desta função (z) se não fosse complexa, seu módulo seria: |z| = z • z . Mas com os números complexos não são bem assim, o módulo dele é multiplicado pelo seu termo seu mesmo fator mas com sinal trocado, que chamamos de Conjugado na matemática que geralmente é representado com um asterisco acima da variável (*) como mostra a equação anterior e a equação abaixo!
︸
︸
Complexo Conjugado
Complexo Conjugado
E isso é feito pois, a parte imaginária é um abstração matemática para simplesmente resolvermos problemas matemáticos no qual os Reais não têm soluções, como descrito anteriormente na página. E fazendo isso, os termos que contêm a parte imaginária serão cancelados apenas sobrando a solução real que de fato conseguimos representar no mundo físico, real.
Onde já definimos que o fator complexo ao quadrado como:
Sendo assim temos então que o módulo de um número complexo é:
Equação algébrica para o módulo a função complexa (z)
Então como provado, apenas os termos reais da função complexa se mantém quando tomamos o seu módulo. E isso é importante pois é com ele que realmente iremos utilizar para determinarmos os valores reais da função de onda quântica.
Há também um outra relação que aparece também frequente em mecânica quântica, que apenas vamos mostrar, pois a dedução dela é um pouco extensa e que deriva de uma relação semelhante a equação algébrica, mas na forma trigonométrica. Esta relação é a relação de Euler, dada pela seguinte expressão:
Relação trigonométrica da função complexa
Relação de Euler para os números complexos