Números Complexos
Os números complexos, ou melhor, o Conjunto dos Números complexos são importantes na mecânica quântica pois muitas das soluções que descrevem os fenômenos quânticos exigem esse conjunto nos cálculos. E o que vem a ser os Números complexos?🤔
O conjunto dos Complexos (Números Complexos) denotado por (ℂ), é apenas um outro conjunto numérico da matemática que permite valores que outros conjuntos não permite. Por exemplo, raizes quadradas negativas. Se você recordar das suas aulas de matemática deve se lembrar do seguinte diagrama.
ℚ Racionais
7/6
-8
-3
2,9
-3
8
-9
4
5
ℤ Inteiros
ℕ Naturais
0
3
8
9
4
5
ℝ Reais
7/6
-15
-3
2,9
ℂ Complexos
√-1
2+4i
cos(θ) + i sen(θ)
𝕀 Irracionais
π
φ
√4
-12/14
0
O que este diagrama nos diz é que, o conjunto dos complexos abrange todos os outros valores dos outros conjuntos. Ele contém as soluções dos Naturais (ℕ), Inteiros (ℤ), Racionais (ℚ), Reais (ℝ) e Irracionais (𝕀).
Para entendermos melhor os números complexos têm uma representação geométrica. Este conjunto nada mais é que a representação bidimensional num plano cartesiano, com o eixo do (x) representando o conjunto dos ℝ e o eixo (y) representando os valores Imaginários (Im). O que seria estes números Imaginários?
Os números imaginários são simplesmente um subconjunto dos Complexos. Para conseguirmos representar os valores algébricamente dos números complexos temos que ter a combinação entre estes dois outros subconjuntos. Para entendermos melhor veja o diagrama a baixo.
ℂ Complexos
ℝ Reais
𝕀m Imaginário
7/6
-3
2,9
√4
ℕ
ℤ
ℚ
𝕀
+
Então o subconjunto (um subgrupo) dos Complexos chamado de Números Imaginários (𝕀m) é representado por:
E
Sim! Dentro dos números imaginários é possível a existência de raiz quadrada de números negativos. A notação usual para os números imaginários é justamente a letra (i), e como a equação acima mostra, existe uma relação de i² ser igual a √-1.
Então para representarmos de forma algébrica os números complexos a notação fica:
︸
Número Complexo
︸
Parte Real
︸
Parte Imaginária
Onde se lembrarmos do ultimo conjunto que mostramos acima, condiz exatamente com a descrição algébrica de números complexos. Onde (a) e (b) são números reais ℝ e (i) faz parte dos imaginários (𝕀m). Ou seja, os números complexos nada mais são que o conjunto dos reais mas com a parte de solução imaginária como um termo complementar. Em outras palavras o conjunto os complexos (ℂ) é o conjunto mais abrangente que os Reais (ℝ) por adotar soluções a mais que ele.
É fato que a nomenclatura utilizada pelos matemáticos para os conjuntos possa ser um pouco confusa. Números Reais e Números Complexos não querem dizer que aquele conjunto "existe no mundo real" e o outro é um conjunto difícil, complicado de trabalhar, por isso se chamam complexos. Não! Não tem haver com isso. Mas a nomenclatura foi aceita assim e passado adiante, apesar de ser dúbia no sentido que são tratadas. Para entendermos o motivo real do porque esse número complexo foi necessário, vamos realmente entender o que uma potência quadrada de um número e o que realmente representa.Veja por exemplo:
Que número multiplicado por ele mesmo resulta em 49? Bom sabemos que 7.7 é igual a 49, mas para entendermos melhor vamos representar o número 1 em ambos os lados, ja que multiplicando qualquer coisa por 1 é ela mesma, só para entendermos a ideia.
Assim podemos ver que se fizermos o mesmo para quais quer valores sejam eles positivos ou negativos, pela regra de sinal do produto (-).(-) = + , se tivermos uma potência sempre par jamais teríamos um resultado negativo, certo?
Visualizando os números em um linha podemos ver que, 1x1=1 não se altera:
-1
0
1
O mesmo aconteceria se fizermos a multiplicação com os números negativos, (-1) x (-1) = +1 não se altera: A seta iria para esquerda( sentido dos eixos negativos) e voltaria para o eixo positivo no mesmo valor multiplicado.
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
O problema agora é, que valor que teríamos multiplicado por ele mesmo nos dá um resultado negativo? Como seria possível elevar um número a potência par como o número 2 e dar negativo? Aí que vêm a ideia de números Complexos e Imaginários. Nada nos impede de fazermos uma rotação, e criar um segundo eixo vertical com uma característica importante, este eixo contém apenas os números imagináriáos.
i
-1
0
1
-i
Então temos agora uma forma geométrica para representar os números complexos. Os números complexos são uma representação planar como mostrado acima, onde para um ponto no plano é necessário dois valores (eixo real (ℝ); eixo imaginário(𝕀m)). Este plano é chamado como plano de Argand Gauss.
Certo, revemos isso tudo até aqui, mas porque mesmo? Bom para entender de onde se deriva a equação de Schrödinger, teríamos que compreender um curso todo de equações diferenciais parciais, que não nos é conveniente aqui. Então estou usando uma analogia associativa com o que você aluno do ensino médio ja deveria ter visto até então. O importante a se relacionar dos números complexos a equação de Schrödinger é que ela mesma resolve uma função chamada complexa! E o que fisicamente queremos extrair desta equação é um valor numérico que ficará claro ao final da sessão "A função de onda quântica". Então dito isso, como então extraímos esse valor que nos interessa dentro da física de uma função complexa?
Como citamos anteriormente a função complexa é composta por uma parte real e uma parte imaginária, a questão é que a parte imaginária não têm um análogo físico, ou uma relação física que a associe ao um resultado de um fenômeno físico, e sim a parte real é a que faz mas sentido em ser usada, uma vez que ja dissemos que a parte imaginária é simplesmente uma abstração matemática para conseguirmos resolver um problema matemático, ela não existe literalmente (me atrevo a dizer que o nome "Imaginário" não foi posto atoa neste termo (i) na matemática). Então para extrairmos o resultado real, fisico, significativo para nós de uma função complexa, nós dizemos que tiraremos o seu módulo! E tomar o módulo de um número complexo tem uma particularidade com o módulo usualmente visto na álgebra convencional demonstrada abaixo:
Onde (z) é um número complexo e (z*) é o complexo conjugado
Quando citamos retirar o módulo de alguma variável, seria multiplicar seu valor por ele mesmo, ou seja, no caso desta função (z) se não fosse complexa, seu módulo seria: |z| = z • z . Mas com os números complexos não são bem assim, o módulo dele é multiplicado pelo seu termo seu mesmo fator mas com sinal trocado, que chamamos de Conjugado na matemática que geralmente é representado com um asterisco acima da variável (*) como mostra a equação anterior e a equação abaixo!
︸
︸
Complexo Conjugado
Complexo Conjugado
E isso é feito pois, a parte imaginária é um abstração matemática para simplesmente resolvermos problemas matemáticos no qual os Reais não têm soluções, como descrito anteriormente na página. E fazendo isso, os termos que contêm a parte imaginária serão cancelados apenas sobrando a solução real que de fato conseguimos representar no mundo físico, real.
Onde já definimos que o fator complexo ao quadrado como:
Sendo assim temos então que o módulo de um número complexo é:
Equação algébrica para o módulo a função complexa (z)
Então como provado, apenas os termos reais da função complexa se mantém quando tomamos o seu módulo. E isso é importante pois é com ele que realmente iremos utilizar para determinarmos os valores reais da função de onda quântica.
Há também um outra relação que aparece também frequente em mecânica quântica, que apenas vamos mostrar, pois a dedução dela é um pouco extensa e que deriva de uma relação semelhante a equação algébrica, mas na forma trigonométrica. Esta relação é a relação de Euler, dada pela seguinte expressão:
Relação trigonométrica da função complexa
Relação de Euler para os números complexos