Аналіз рівняння Шредінгера
Початковий підхід
Щоб дати більш чітке математичне уявлення про те, що говорить нам Eq.Schrödinger, давайте зробимо базовий аналіз рівняння, адже це центральна тема сайту, і щоб не залишити тему занадто розпливчастою щодо попередньої сторінки та не дуже глибоко на цій сторінці, тому що для розуміння повноти рівняння потрібне поняття диференціального та інтегрального числення , обчислення багатовимірних , Диференціальні рівняння та комплексні числа.
Мета тут не в тому, щоб знати, як розв’язувати саме рівняння, а в тому, щоб зробити підхід основний розрахунку, сказаного вище, не заглиблюючись у поняття, що містяться в ньому, і трохи більше заглиблюючись у відповідні поняття елементарної алгебри та попереднього обчислення, щоб залишитися як ясно можливо ми наведемо приклади кожної концепції, щоб полегшити розуміння того, що ми хочемо дати про пояснення Eq.Schrödinger.
1) Що таке диференціальне та інтегральне числення?
Диференціальне та інтегральне числення, яке ми далі будемо називати обчисленням, охоплює всі інші Розрахунки, зазначені вище. розрахунок виникла у необхідності створення більш точного інструменту і аналітика про деякі явища, які вивчалися в античності, одним із тих, хто сприяв його створенню, був Ісаак Ньютон, як ми згадували в « Огляді механіки». та ще й те сприяли для обчислення поряд з Ньютоном був Лейбніц.
Одна з цих потреб була використана Ньютоном при вивченні небесних тіл у його теорії гравітації та його 3 законах механіки. Проблема була... Як я можу виміряти тіла, які перебувають у постійному русі відносно одне одного, просто використовуючи алгебру? Подумайте, наскільки складно було б описати рух зірки, якби вона щодня змінювала своє положення і щодня вам доведеться перекалібрувати обладнання, переробляти наступні розрахунки... Звичайна алгебра просто не впоралася з цими та багатьма іншими проблемами, коли вона був рух будь-якого тіла не з однаковою точністю, а в деяких випадках воно не має розв’язку, що саме хотів зробити Ньютон. Потім Ньютон почав працювати над математикою і знайдено щось фантастичне і мають надзвичайно геометричний і легко помітний характер.
Перше поняття, яке ми вивчаємо в курсі обчислення, - це поняття межі ! Дидактично я називаю цей оператор «Апроксимометр».
Я знаю, про що ви, мабуть, думаєте зараз... "Обмеження?🤨Оператор?😣. Заспокойтеся! Давайте почнемо з пояснення, що означає оператор у загальному вигляді в математиці. Зрозумійте оператор просто як алгебраїчний інструмент для маніпулювання значеннями, і в деяких випадках «параметри».В алгебрі маємо 4 відомі елементарні оператори , з якими ви вже більше ніж знайомі.
а) Маємооператор SUM , і твій позначення є (+): наприклад:
Беремо значення будь-яке A та будь-яке інше значення B, і ми керуємо ними (маніпулюємо ними...) за правилом суми (асоціювати/приєднувати), яке в результаті дає нам інше значення C. приклад
АБО
Таку ж аналогію можна провести з іншими операторами, які ви вже знаєте, оператором (Віднімання (-) ; Ділення (÷) і Множення (×)) та їх відповідний правила «обробки» значень і параметрів.
На відміну від операторів елементарної алгебри, оператор Limit оперує не числами, а значеннями функцій ! Так!😂 Давайте знову подивимося на це поняття відтепер, одне з понять, якщо не найважливіше у всьому обчисленні.
б) Функції: Я вважаю, що багато хто з вас, коли почали вивчати цю тему з математики, не сприймали її так серйозно, як слід. Давайте зробимо хороший мазок на понятті функції та важливих поняттях розуміти в межах предмета. Починаючи з ідеї функції Domino (𝔻).
Наразі я знаю, перегляньте це мабуть, це не матиме сенсу з поясненням Eq.Schrödinger. Повірте, це дасть багато чого, тому що ми не маємо мети вміти рахувати чисельно рівняння Але щоб зрозуміти його значення та те, що він насправді описує, і подобається це чи ні, але вся інтуїтивна концепція обертається навколо області хвильової функції, про яку ми так багато говоримо. Для цього ми повинні мати чітке уявлення про це поняття, щоб зрозуміти фактори, які вони є у виразі, який ззаду ми поговоримо про одну з теми про комплексні числа.
Отже, давайте почнемо визначати деякі важливі поняття:
● Що таке Domino? Область визначення функції - це не що інше, як набір значень, які задовольняють розв'язку даної функції.
● Що таке функція? Це математичне представлення, яке ми складаємо про асоціацію значень з одного числового набору до іншого, коли вони маніпулюють з набором значень чи ні. операції, такі як (додавання, ділення, корінь тощо).
Давайте наведемо кілька прикладів того, чому огляд цих понять важливості. Для початку давайте розглянемо 3 типи функцій, щоб мати можливість ілюструвати застосування дослідження предметної області.
● Лінійна функція (рівний прямий) :
Це одна з найпростіших функцій, які ми вивчали в школі, функція першого ступеня (рядкове рівняння). Ми знаємо, що (a) і (b) є константами, тобто значеннями, які не змінюються, і єдиним параметром, який може мати різні значення, є наша змінна (x). Тепер, щоб проаналізувати область визначення цієї функції, ми повинні подивитися, чи потребує функція будь-яких алгебраїчних обмежень. У цьому конкретно немає обмежень, оскільки будь-яке значення, яке ми вводимо в (x), матиме рішення. Ми будемо використовувати найпоширеніші позначення для представлення доменів.
Тобто (x) міститься у всіх дійсних числах. Для прикладу припустимо a = 1 і b = 0 і покажемо цю функцію на графіку. Для будь-якого значення (x) [вісь по горизонталі] ми матимемо значення, пов’язане з віссю (y) [вісь на вертикальний].
● Rational Function : функція раціональний це ще один тип функцій, який ми повинні пам'ятати, оскільки існує обмеження, в якому ми не маємо рішення.
Раціональна функція — це не що інше, як функція, що складається з двох інших функцій, поділених одна на іншу, з обмеженням h(x) ≠ 0, тому що немає рішення для ділення з 0. Щоб зрозуміти, давайте подивимося на приклад:
Зверніть увагу, що f(x) складається з двох інших функцій. g(x) = x+3 і h(x) = x-3, пам'ятаючи, що, будучи діленням, ми не можемо мати ділення на 0. Отже, щоб знайти домену цієї функції (тобто діапазон значень, у якому сама функція має рішення) є...
Це означає, що єдине значення, яке h(x) не може приймати, щоб знаменник відповідав обмеження раціональної функції, тобто те, що ми не можемо ділити на 0, (x) може приймати будь-яке значення, крім 3. Воно повинно відрізнятися від 3. Записуючи область визначення, ми маємо:
Аналіз області визначення функції допомагає нам усвідомити, що саме обмежуючи існування розв’язків для раціональної функції, ми знаємо, що саме при значенні 3 рішення немає. Що означає відсутність рішення? Подивіться сам графік у точці x=3, де функція h(x) звернеться до нуля власний функція f(x) не стосується цієї точки. Тобто немає рішення для f(x), коли x=3, принаймні не в множині Reais (ℝ).
Остання функція, яку ми збираємося побачити і не в останню чергу, є найважливішою функцією, яку нам доведеться зрозуміти.
● Root Function : Функція джерело також є однією з кількох функцій, які мають певні обмеження на існування. Як ви вже могли бачити, квадратного кореня з від’ємними числами не існує, є лише додатні числа.
Отже, щоб визначити область визначення функції квадратного кореня, ми були б з:
Ми хочемо підкреслити цю функцію, що функція квадратного кореня, оскільки вона є оберненою до квадратичної функції, не допускає негативних значень, оскільки будь-яке число, піднесене до квадрата або до будь-якого парного показника, ЗАВЖДИ буде додатним у множині. реалів (ℝ) ). Проблема в тому, що квадратні корені можуть приймати від’ємні числа, але вони не є частиною множини дійсних чисел (ℝ), тому що в ньому немає узгодженості для такого рішення, тому з роками математики помітили початок іншого математика множин. хто допускає від'ємні числа в коренях, набір комплексних чисел (ℂ). Далі ми пояснимо поняття на сторінках, що таке визначення комплексних чисел.