श्रोडिंगर का समीकरण विश्लेषण
प्रारंभिक दृष्टिकोण
Eq.Schrödinger हमें जो बताता है उसकी एक स्पष्ट गणितीय धारणा देने के लिए, आइए समीकरण का एक बुनियादी विश्लेषण करें, आखिरकार यह साइट का केंद्रीय विषय है और पिछले पृष्ठ के संबंध में विषय को बहुत अस्पष्ट नहीं छोड़ना है और इस पृष्ठ पर बहुत गहराई से नहीं, क्योंकि समीकरण की पूर्णता को समझने के लिए डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस, मल्टीवेरिएबल कैलकुलस की धारणा की आवश्यकता है , आंशिक विभेदक समीकरण और सम्मिश्र संख्याएँ।
यहाँ उद्देश्य यह जानना नहीं है कि समीकरण को स्वयं कैसे हल किया जाए, बल्कि एक दृष्टिकोण बनाया जाए बुनियादी कैलकुलस के ऊपर कहा गया है, इसमें स्वयं की अवधारणाओं में तल्लीन किए बिना और प्रारंभिक बीजगणित और पूर्व-कलन की प्रासंगिक अवधारणाओं में थोड़ा और तल्लीन करने के लिए, जैसा कि बने रहने के लिए स्पष्ट मुमकिन हम समीकरण श्रोडिंगर की व्याख्या के बारे में जो देना चाहते हैं उसकी समझ को सुगम बनाने के लिए हम प्रत्येक अवधारणा का उदाहरण देंगे।
1) डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस क्या है?
डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस, जिसे हम सिर्फ कैलकुलस कहेंगे, सभी को कवर करता है अन्य ऊपर वर्णित गणना। हिसाब उभरा अधिक सटीक उपकरण बनाने की आवश्यकता में और एनालिटिक्स कुछ घटनाओं के बारे में जिनका प्राचीन काल में अध्ययन किया जा रहा था, उनमें से एक आइजैक न्यूटन थे जिन्होंने इसके निर्माण में योगदान दिया था, जैसा कि हमने मैकेनिक्स की समीक्षा में उल्लेख किया है। और दूसरा यह भी कि योगदान न्यूटन के साथ कैलकुलस के लिए लाइबनिज थे।
इन्हीं जरूरतों में से एक का उपयोग न्यूटन द्वारा अपने गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत और यांत्रिकी के अपने 3 नियमों में खगोलीय पिंडों के अध्ययन में किया गया था। समस्या थी... मैं केवल बीजगणित का उपयोग करके एक दूसरे के सापेक्ष निरंतर गति में रहने वाले पिंडों को कैसे माप सकता हूं? इस बारे में सोचें कि किसी तारे की गति का वर्णन करना कितना जटिल होगा यदि वह हर दिन अपनी स्थिति बदलता है और हर दिन आपको उपकरण को फिर से जांचना पड़ता है, निम्नलिखित गणनाओं को फिर से करें ... पारंपरिक बीजगणित बस इन समस्याओं और कई अन्य को संभाल नहीं पाता है जब यह एक था किसी भी पिंड की गति, समान सटीकता के साथ नहीं और कुछ मामलों में इसका कोई समाधान नहीं था, जो न्यूटन करना चाहता था। न्यूटन ने तब गणित पर काम करना शुरू किया और मिला कुछ शानदार और एक अत्यंत ज्यामितीय और आसानी से दिखने वाला चरित्र है।
कैलकुलस कोर्स में हमें जो पहली अवधारणा सिखाई जाती है, वह है लिमिट का कॉन्सेप्ट! एक उपदेशात्मक तरीके से मैं इस ऑपरेटर को "एप्रोक्सिमोमीटर" कहता हूं।
मुझे पता है कि आप अभी क्या सोच रहे होंगे... "सीमा?🤨ऑपरेटर?😣। शांत हो जाओ! आइए यह समझाते हुए शुरू करें कि गणित में एक सामान्य तरीके से एक ऑपरेटर का क्या अर्थ है। ऑपरेटर को केवल मूल्यों में हेरफेर करने के लिए एक बीजीय उपकरण के रूप में समझें, और कुछ मामलों में "पैरामीटर"। बीजगणित में हमारे पास है 4 प्रसिद्ध प्राथमिक ऑपरेटर जिनसे आप पहले से ही परिचित हैं।
ए) हमारे पास एसयूएमऑपरेटर है , और तुम्हारा नोटेशन है (+): उदाहरण के लिए:
हम एक मूल्य लेते हैं कोई भी ए और कोई अन्य मान बी और हम उन्हें एक योग नियम (एसोसिएट/जॉइन) द्वारा संचालित करते हैं (उनमें हेरफेर करते हैं) जो हमें परिणाम के रूप में एक और मूल्य सी देता है। उदाहरण
या
वही सादृश्य बाकी ऑपरेटरों के साथ बनाया जा सकता है जिन्हें आप पहले से जानते हैं, ऑपरेटर (घटाव (-); भाग (÷) और गुणा (×)) और उनके संबंधित मूल्यों और मापदंडों को "हैंडलिंग" करने के नियम।
प्राथमिक बीजगणित ऑपरेटरों के विपरीत, सीमा ऑपरेटर संख्याओं के साथ नहीं, बल्कि कार्यों के मूल्यों के साथ काम करता है ! हाँ!😂 आइए अब से इस अवधारणा को फिर से देखें, यदि सभी कलन में सबसे महत्वपूर्ण नहीं तो अवधारणाओं में से एक ।
ख) कार्य: मेरा मानना है कि आप में से कई लोगों ने जब गणित में इस विषय का अध्ययन करना शुरू किया तो आपने इसे उतनी गंभीरता से नहीं लिया जितना आपको लेना चाहिए। आइए फ़ंक्शन की अवधारणा और महत्वपूर्ण अवधारणाओं पर एक अच्छा ब्रशस्ट्रोक करें विषय के भीतर समझा जा सकता है। एक फ़ंक्शन (𝔻) के डोमिनोज़ विचार से शुरू करना।
मुझे पता है कि अभी इसकी समीक्षा करें जाहिर तौर पर इसका Eq.Schrödinger के स्पष्टीकरण से कोई मतलब नहीं होगा। मेरा विश्वास करो, यह बहुत कुछ करेगा, क्योंकि हमारे पास यह जानने का उद्देश्य नहीं है कि कैसे गणना करें संख्यानुसार समीकरण लेकिन इसके निहितार्थों को समझने के लिए और यह वास्तव में क्या वर्णन कर रहा है, और यह पसंद है या नहीं, पूरी सहज अवधारणा वेव फंक्शन के डोमेन के इर्द-गिर्द घूमती है जिसके बारे में हम बहुत बात करते हैं। इसके लिए हमें कारकों को समझने के लिए इस अवधारणा की स्पष्ट धारणा रखनी होगी कि वो हैं अभिव्यक्ति में, जो पीछे हम इनमें से एक के बारे में बात करेंगे विषय कॉम्प्लेक्स नंबर के बारे में
तो आइए कुछ महत्वपूर्ण अवधारणाओं को परिभाषित करना शुरू करें:
डोमिनोज़ क्या है? किसी फ़ंक्शन का डोमेन मानों के एक सेट से अधिक कुछ नहीं है जो किसी दिए गए फ़ंक्शन के समाधान को संतुष्ट करता है।
एक फंक्शन क्या है? यह एक गणितीय निरूपण है जिसे हम एक संख्यात्मक सेट से दूसरे में मूल्यों के एक संघ से बनाते हैं, जब मूल्यों के एक सेट में हेरफेर किया जाता है या नहीं। संचालन, जैसे (जोड़, विभाजन, जड़, आदि)।
आइए कुछ उदाहरण दें कि इन अवधारणाओं की समीक्षा क्यों की गई है महत्त्व। शुरू करने के लिए, आइए डोमेन अध्ययन के अनुप्रयोग का उदाहरण देने में सक्षम होने के लिए 3 प्रकार के कार्यों को देखें।
रेखीय फलन (Eq.straight) :
यह सबसे सरल कार्यों में से एक है जिसे हमने स्कूल में सीखा है, पहला डिग्री फ़ंक्शन (लाइन समीकरण)। हम जानते हैं कि (ए) और (बी) स्थिरांक हैं, यानी वे मान जो बदलते नहीं हैं और एकमात्र पैरामीटर जिसमें अलग-अलग मान हो सकते हैं, हमारा चर (x) है। अब, इस फ़ंक्शन के डोमेन का विश्लेषण करने के लिए, हमें यह देखना होगा कि क्या फ़ंक्शन को किसी बीजीय प्रतिबंध की आवश्यकता है। इसमें विशेष रूप से कोई प्रतिबंध नहीं हैं क्योंकि हम (x) में जो भी मान डालते हैं उसका समाधान होगा। हम डोमेन का प्रतिनिधित्व करने के लिए सबसे सामान्य संकेतन का उपयोग करेंगे।
अर्थात् (x) सभी वास्तविक संख्याओं में निहित है। एक उदाहरण के रूप में, मान लेते हैं कि a = 1 और b = 0 और इस फ़ंक्शन को ग्राफ़ पर दिखाते हैं। (x) [क्षैतिज पर अक्ष] के किसी भी मान के लिए हमारे पास अक्ष (y) [अक्ष पर अक्ष से संबद्ध मान होगा खड़ा]।
परिमेय फलन : फलन तर्कसंगत एक अन्य प्रकार का फलन है जिसे हमें याद रखना है क्योंकि एक बाधा है जिसमें हमारे पास कोई समाधान नहीं है।
परिमेय फलन h(x) 0 के प्रतिबंध के साथ एक दूसरे से विभाजित दो अन्य कार्यों से बना एक फ़ंक्शन से ज्यादा कुछ नहीं है, क्योंकि 0 के साथ विभाजन के लिए कोई समाधान नहीं है। समझने के लिए, आइए उदाहरण देखें:
ध्यान दें कि f(x) दो अन्य कार्यों से बना है। g(x) = x+3 और h(x) = x-3, यह याद रखते हुए कि एक भाग होने के कारण हमारे पास 0 से विभाजन नहीं हो सकता है। तो खोजने के लिए कार्यक्षेत्र इस फ़ंक्शन का (अर्थात, मानों की श्रेणी जिसमें फ़ंक्शन का स्वयं समाधान होता है) है...
इसका मतलब यह है कि केवल वह मान जो h(x) हर के सम्मान के लिए नहीं ले सकता है एक परिमेय फलन की बाधा, यानी कि हम 0 से विभाजित नहीं कर सकते हैं, (x) 3 को छोड़कर कोई भी मान ले सकता है। इसे 3 से अलग होना चाहिए। डोमेन लिखना, हमारे पास है:
किसी फलन के क्षेत्र का विश्लेषण हमें यह महसूस करने में मदद करता है कि परिमेय फलन के लिए समाधानों के अस्तित्व को सीमित करके, हम जानते हैं कि वास्तव में मान 3 पर कोई समाधान नहीं है। समाधान न होने का क्या अर्थ है? ग्राफ को स्वयं देखें, बिंदु x=3 पर जहां फलन h(x) शून्य पर जाएगा, the अपना फलन f(x) उस बिंदु को स्पर्श नहीं करता है। अर्थात्, f(x) का कोई हल नहीं है, जब x=3, कम से कम रियास (ℝ) के समुच्चय में न हो।
आखिरी समारोह जिसे हम देखने जा रहे हैं और कम से कम नहीं, वह सबसे महत्वपूर्ण कार्य है जिसे शायद हमें समझना होगा।
रूट फंक्शन : फंक्शन स्रोत भी कई कार्यों में से एक है जो अस्तित्व पर एक निश्चित बाधा है। जैसा कि आप पहले ही देख चुके हैं, ऋणात्मक संख्याओं वाला कोई वर्गमूल नहीं होता, केवल धनात्मक संख्याएँ होती हैं।
तो वर्गमूल फलन का प्रांत ज्ञात करने के लिए, हम होंगे साथ:
जिस बिंदु पर हम इस फ़ंक्शन पर जोर देना चाहते हैं, वह यह है कि वर्गमूल फ़ंक्शन, क्योंकि यह द्विघात फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है, नकारात्मक मानों को स्वीकार नहीं करता है, क्योंकि वर्ग या किसी भी घातांक तक कोई भी संख्या हमेशा सेट में सकारात्मक होगी रियल्स (ℝ))। समस्या यह है कि वर्गमूल ऋणात्मक संख्याओं को स्वीकार कर सकते हैं, लेकिन यह वास्तविक संख्याओं (ℝ) के सेट का हिस्सा नहीं है, क्योंकि इसमें इस तरह के समाधान के लिए कोई स्थिरता नहीं है, इसलिए वर्षों से गणितज्ञों ने एक और सेट गणितज्ञ की शुरुआत पर ध्यान दिया। जो जड़ों में ऋणात्मक संख्याओं को स्वीकार करता है, समूह जटिल संख्या (ℂ) की। हम आगे पृष्ठों में अवधारणा की व्याख्या करेंगे कि सम्मिश्र संख्याओं की परिभाषा क्या है।