ניתוח המשוואות של שרדינגר
גישה ראשונית
על מנת לתת מושג מתמטי ברור יותר של מה ש-Eq.Schrödinger אומר לנו, בואו נעשה ניתוח בסיסי של המשוואה, אחרי הכל זה הנושא המרכזי של האתר ולא להשאיר את הנושא מעורפל מדי ביחס לעמוד הקודם לא מעמיק מדי בדף זה, כי כדי להבין את שלמות המשוואה נדרש המושג של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי , חשבון רב משתנים , משוואות דיפרנציאליות חלקיות ומספרים מורכבים.
המטרה כאן היא לא לדעת איך לפתור את המשוואה עצמה, אלא לעשות גישה בסיסי של חשבון שנאמר לעיל, מבלי להתעמק במושגים שבו עצמו ולהעמיק קצת יותר במושגים הרלוונטיים של אלגברה יסודית וקדם-חשבון, כדי להישאר בתור ברור אפשרי אנו נותנים דוגמאות לכל מושג כדי להקל על ההבנה של מה שאנו רוצים לתת לגבי ההסבר של Eq.Schrödinger.
1) מהו חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי?
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, שפשוט נקרא לו חשבון ואילך, מכסה את כל אחרים חישובים שהוזכרו לעיל. החישוב הגיח בצורך ליצור כלי מדויק יותר ו ניתוח לגבי כמה תופעות שנחקרו בעת העתיקה, אחד מאלה שתרמו ליצירתו היה אייזק ניוטון, כפי שהזכרנו ב- Review of Mechanics ועוד אחד גם זה תרם עבור Calculus יחד עם ניוטון היה לייבניץ.
אחד מהצרכים הללו שימש בחקר גרמי השמיים על ידי ניוטון בתורת הכבידה שלו ושלושה חוקי המכניקה שלו. הבעיה הייתה... איך אני יכול למדוד גופים שנמצאים בתנועה מתמדת זה ביחס לזה פשוט באמצעות אלגברה? תחשוב כמה מסובך יהיה לתאר את תנועתו של כוכב אם הוא משנה את מיקומו כל יום ובכל יום אתה צריך לכייל מחדש את הציוד, מחדש את החישובים הבאים... האלגברה הקונבנציונלית פשוט לא טיפלה בבעיות האלה ובהרבה אחרות כשהיא היה תנועה של כל גוף, לא באותה דיוק ובמקרים מסוימים לא היה לו פתרון, וזה בדיוק מה שניוטון רצה לעשות. ניוטון אז החל לעבוד על מתמטיקה ו מצאתי משהו פנטסטי ובעל אופי גיאומטרי במיוחד וקל לראות.
המושג הראשון שמלמדים אותנו בקורס חשבון הוא המושג Limit ! באופן דידקטי אני קורא למפעיל הזה "אפרוקסימומטר".
אני יודע מה אתה בטח חושב עכשיו... "גבול?🤨אופרטור?😣. תירגע! בואו נתחיל בהסבר מה המשמעות של אופרטור בצורה כללית במתמטיקה. להבין את האופרטור פשוט ככלי אלגברי למניפולציה של ערכים, ו במקרים מסוימים "פרמטרים". באלגברה יש לנו 4 מפעילים יסודיים ידועים שאתם כבר יותר ממכירים.
א) יש לנו אתהאופרטור SUM , ושלך סמון הוא (+): לדוגמה:
אנחנו לוקחים ערך כל A וכל ערך B אחר ואנחנו מפעילים אותם (מתפעלים אותם...) על ידי כלל סכום (associate/join) שנותן לנו ערך אחר C כתוצאה מכך. דוגמא
או
ניתן ליצור את אותה אנלוגיה עם שאר האופרטורים שאתה כבר מכיר, אופרטור (חיסור (-) ; חלוקה (÷) וכפל (×)) והן שלהם בהתאמה כללים ל"טיפול" בערכים ובפרמטרים.
שלא כמו אופרטורי האלגברה היסודיים, האופרטור Limit אינו פועל עם מספרים, אלא עם ערכים של פונקציות ! כן!😂 בואו נראה שוב את המושג הזה מעתה ואילך, אחד המושגים אם לא החשוב ביותר בכל חשבון.
ב) פונקציות: אני מאמין שרבים מכם כשהתחלתם ללמוד את הנושא הזה במתמטיקה לא לקחו אותו ברצינות כמו שצריך. בוא נעשה משיכת מכחול טובה על מושג הפונקציה ומושגים חשובים ל להיות מובן בתוך הנושא. החל מהרעיון של דומינו של פונקציה (𝔻).
אני יודע לעת עתה סקור את זה כנראה שזה לא יהיה הגיוני עם ההסבר של אקוו שרדינגר. תאמין לי, זה יעשה הרבה, כי אין לנו מטרה לדעת איך לחשב מבחינה מספרית ה-Eq. אבל כדי להבין את ההשלכות שלו ומה זה בעצם מתאר, ותרצו או לא, כל הרעיון האינטואיטיבי סובב סביב פונקציית Domain of the wave שאנחנו מדברים עליה כל כך הרבה. לשם כך עלינו לקבל מושג ברור לגבי המושג הזה כדי להבין גורמים לכך הם בביטוי, אשר מאחור נדבר על אחד מה נושאים על מספרים מורכבים.
אז בואו נתחיל להגדיר כמה מושגים חשובים:
● מה זה דומינו? תחום של פונקציה הוא לא יותר ממערכת של ערכים המספקים את הפתרון של פונקציה נתונה.
● מהי פונקציה? זהו ייצוג מתמטי שאנו יוצרים של אסוציאציה של ערכים מקבוצה מספרית אחת לאחרת, כאשר מניפולציה או לא לקבוצת ערכים. פעולות, כגון (חיבור, חלוקה, שורש וכו').
בואו ניתן כמה דוגמאות למה יש לסקירת מושגים אלה חשיבות. כדי להתחיל, בואו נראה 3 סוגים של פונקציות כדי להיות מסוגלים להמחיש את היישום של לימוד תחום.
● פונקציה לינארית (Eq.straight) :
זוהי אחת הפונקציות הפשוטות ביותר שלמדנו בבית הספר, פונקציית התואר הראשון (משוואת קו). אנו יודעים ש-(a) ו-(ב) הם קבועים, כלומר ערכים שאינם משתנים והפרמטר היחיד שיכול להיות בעל ערכים שונים הוא המשתנה שלנו (x). כעת, על מנת לנתח את התחום של פונקציה זו, עלינו לבדוק אם הפונקציה דורשת מגבלות אלגבריות כלשהן. בזה ספציפית אין הגבלות כי לכל ערך שנכניס ב-(x) יהיה פתרון. נשתמש בסימון הנפוץ ביותר כדי לייצג דומיינים.
כלומר, (x) כלול בכל המספרים הממשיים. כדוגמה, נניח a = 1 ו-b = 0 ונראה את הפונקציה הזו על הגרף. עבור כל ערך של (x) [ציר על האופקי] יהיה לנו ערך המשויך לציר (y) [ציר על אנכי].
● פונקציה רציונלית : הפונקציה רציונלי הוא סוג נוסף של פונקציה שעלינו לזכור כי יש אילוץ שבו אין לנו פתרון.
הפונקציה הרציונלית היא לא יותר מפונקציה המורכבת משתי פונקציות אחרות המחולקות אחת בשנייה, בהגבלה של h(x) ≠ 0, כי אין פתרון לחלוקות עם 0. כדי להבין, בוא נראה את הדוגמה:
שימו לב ש- f(x) מורכב משתי פונקציות נוספות. g(x) = x+3 ו-h(x) = x-3, לזכור שבהיותנו חלוקה לא ניתן לחלק ב-0. אז כדי למצוא את תחום של פונקציה זו (כלומר, טווח הערכים שבו לפונקציה עצמה יש פתרון) הוא...
המשמעות היא שהערך היחיד ש-h(x) לא יכול לקבל כדי שהמכנה יכבד את אילוץ של פונקציה רציונלית, כלומר, שאנחנו לא יכולים לחלק ב-0, (x) יכול לקבל כל ערך מלבד 3. זה חייב להיות שונה מ-3. כתיבת התחום, יש לנו:
ניתוח התחום של פונקציה עוזר לנו להבין שבדיוק על ידי הגבלת קיומם של פתרונות לפונקציה הרציונלית, אנו יודעים שבדיוק בערך 3 אין פתרון. מה זה אומר שאין פתרון? ראה את הגרף עצמו, בנקודה x=3 שבה הפונקציה h(x) תגיע לאפס, ה שלו הפונקציה f(x) אינה נוגעת בנקודה זו. כלומר, אין פתרון ל-f(x) כאשר x=3, לא בקבוצת ה-Reais (ℝ) לפחות.
הפונקציה האחרונה שאנו הולכים לראות, ולא פחות מכך, היא הפונקציה החשובה ביותר שאולי נצטרך להבין.
● פונקציית שורש : הפונקציה מקור גם היא אחת מכמה פונקציות שיש להן מגבלה מסוימת על הקיום. כפי שאולי כבר ראית, אין שורש ריבועי עם מספרים שליליים, רק חיוביים.
אז כדי לקבוע את התחום של פונקציית השורש הריבועי, היינו עם:
הנקודה שאנו רוצים להדגיש פונקציה זו היא שפונקציית השורש הריבועי, בהיותה הפוך לפונקציה הריבועית, אינה מקבלת ערכים שליליים, מכיוון שכל מספר שהועלה לריבוע או לכל מעריך זוגי יהיה תמיד חיובי בקבוצה של Reals (ℝ) ). הבעיה היא ששורשים מרובעים יכולים לקבל מספרים שליליים, אבל זה לא חלק מקבוצת המספרים הממשיים (ℝ), כי אין בו עקביות לפתרון כזה, אז במהלך השנים שמתמטיקאים שמו לב לתחילתו של מתמטיקאי קבוצה אחר מי מודה במספרים שליליים בשורשים, ה מערכת של מספרים מורכבים (ℂ). עוד נסביר את המושג בעמודים מהי ההגדרה של מספרים מרוכבים.