Analyse de l'équation de Schrödinger
Approche initiale
Afin de donner une notion mathématique plus claire de ce qu'est l'équation de Schrödinger par rapport à la page précédente et peu approfondie sur cette page, car comprendre la complétude de l'équation nécessite une notion deCalcul différentiel et intégral,Calculs multi-variables , Équations aux dérivées partiellesetNombres complexes.
Le but ici n'est pas de savoir comment résoudre l'équation elle-même, mais de faire une approche de base do Calculus dit ci-dessus, sans approfondir les concepts eux-mêmes et approfondir un peu plus les concepts pertinents d'algèbre élémentaire et de pré-calcul, pour en tirer le meilleur dégager possible nous donnerons des exemples de chaque concept pour faciliter la compréhension de ce que nous voulons donner sur l'explication de Eq.Schrödinger.
1er)Qu'est-ce que le calcul différentiel et intégral ?
Calcul Différentiel et Intégral, que nous appellerons simplement Calculus, couvre tous les les autres Calculs que nous avons cités précédemment. Le calculus a émergé dans le besoin de créer un outil plus précis e analytique à propos de certains phénomènes étudiés dans l'Antiquité, l'un de ceux qui ont contribué à sa création était Isaac Newton, comme mentionné dansExamen de la mécanique et un autre aussi que contribué for Calculus avec Newton était Leibniz.
L'un de ces besoins a été utilisé dans l'étude des corps célestes par Newton dans sa théorie de la Gravitation et ses 3 Lois de la Mécanique. Le problème était... Comment puis-je mesurer des corps qui sont en mouvement constant les uns par rapport aux autres en utilisant simplement l'algèbre ? Pensez à la complexité de décrire le mouvement d'une étoile si elle change de position tous les jours et qu'il faut chaque jour recalibrer l'équipement, refaire les calculs suivants... L'algèbre conventionnelle n'a tout simplement pas traité ces problèmes et bien d'autres lorsqu'elle était um mouvement de n'importe quel corps, pas avec la même précision et dans certains cas, il n'avait pas de solution, ce qui était exactement ce que Newton voulait faire. Newton a alors commencé à travailler sur les mathématiques e trouvé quelque chose de fantastique et ils ont une caractéristique extrêmement géométrique facile à voir.
Le premier concept qui nous est enseigné dans le cours de calcul est le concept deLimite! Didactiquement j'appelle çaopérateurde "Aproximomètre".
Je sais ce que vous devez penser en ce moment... "Limite ?🤨Opérateur ?😣. Calmez-vous ! Commençons par expliquer ce qu'un opérateur signifie de manière générique en mathématiques. Comprenez l'opérateur simplement comme un outil d'algèbre pour manipuler des valeurs, et dans certains cas des "paramètres". En algèbre nous avons 4opérateurs élémentairesbien connu que vous êtes déjà plus que familier avec.
a) nous avons leopérateurdansSOMME, e sua notation é (+) : Par exemple :
On prend une valeur toute valeur A et toute autre valeur B et nous les opérons (les manipulons ...) par une règle de somme (associate/join) qui nous donne une autre valeur C en conséquence.Exemple
OU
La même analogie peut être faite avec le reste des opérateurs que vous connaissez déjà, opérateur (Soustraction (-) ; Division (÷) et Multiplication (×) ) et votre respectif règles de "manipulation" des valeurs et des paramètres.
Contrairement aux opérateurs d'algèbre élémentaire, l'opérateur Limite ne fonctionne pas avec des nombres, mais avec des valeurs deles fonctions! Oui !😂 Revoyons ce concept désormais, un des concepts sinon le plus important de tous Ccalcul.
B)Les fonctions:Je crois que beaucoup d'entre vous, lorsque vous avez commencé à étudier ce sujet en mathématiques, ne l'avez pas pris aussi au sérieux qu'il le faudrait. Faisons un bon coup de pinceau sur la notion de fonction et les notions importantes a être compris dans le sujet. En commençant par l'idée de fonction de Domino (𝔻).
Je sais qu'en examinant maintenant ce n'aura apparemment aucun sens avec l'explication de Eq.Schrödinger Croyez-moi, ça va faire beaucoup car on n'a pas pour objectif de savoir calculer numériquement a Éq. Mais pour comprendre ses implications et ce qu'il décrit réellement, et si tout le concept intuitif tourne ou non autour du domaine de la fonction d'onde dont nous parlons tant. Pour cela, nous devons avoir une notion claire de ce concept pour comprendre les facteurs qui elles sont dans l'expression, que postérieurement on va parler d'un des les sujets à propos des nombres complexes.
Commençons donc à définir quelques concepts importants :
●Qu'est-ce que Dominos ? Le domaine d'une fonction n'est rien de plus qu'un ensemble de valeurs qui satisfont la solution d'une fonction donnée.
●Qu'est-ce qu'une fonction ? C'est une représentation mathématique que nous faisons d'une association de valeurs d'un ensemble numérique à un autre, manipulé ou non à un ensemble de opérations telles que (ajouter, diviser, racine, etc...).
Donnons quelques exemples de la raison pour laquelle l'examen de ces concepts a importance. Pour commencer, voyons 3 types de fonctions pour pouvoir illustrer l'application de l'étude de domaine.
●Fonction linéaire (Eq. droite):
C'est l'une des fonctions les plus simples que nous ayons apprises à l'école, la fonction du premier degré (équation linéaire). Nous savons que (a) et (b) sont des constantes, c'est-à-dire des valeurs qui ne changent pas et le seul paramètre qui peut avoir des valeurs différentes est notre variable (x). Maintenant, afin d'analyser le domaine de cette fonction, nous devons regarder si la fonction nécessite des restrictions algébriques. Dans ce cas précis, il n'y a aucune restriction car toute valeur que nous mettons dans (x) aura une solution. Nous utiliserons la notation la plus courante pour représenter les domaines.
Autrement dit, (x) est contenu dans tous les nombres réels. A titre d'exemple, supposons a = 1 et b = 0 et montrons cette fonction sur le graphique. Pour toute valeur de (x) [axe horizontal] nous aurons une valeur associée à l'axe (y) [axe na vertical].
●Fonction rationnelle: La fonction rationnel est un autre type de fonction dont nous devons nous souvenir car il existe une contrainte dans laquelle nous n'avons pas de solution.
La fonction rationnelle n'est rien d'autre qu'une fonction composée de deux autres fonctions divisées l'une par l'autre, avec la restriction h(x) ≠ 0, car il n'y a pas de solution pour les divisions avec 0. Pour comprendre, voyons l'exemple :
Notez que f(x) est composé de deux autres fonctions. g(x) = x+3 et h(x) = x-3, en se rappelant qu'étant une division on ne peut pas avoir de division par 0. Donc pour trouver o domaine de cette fonction (c'est-à-dire la plage de valeurs dans laquelle la fonction elle-même a une solution) est...
Cela signifie que la seule valeur que h(x) ne peut pas prendre pour que le dénominateur respecte a contrainte d'une fonction rationnelle, c'est-à-dire qu'on ne peut pas diviser par 0, (x) peut prendre n'importe quelle valeur sauf 3. Il doit être différent de 3. En écrivant le domaine, on a :
L'analyse du domaine d'une fonction nous aide à nous rendre compte qu'exactement par la restriction d'existence de solutions pour la fonction rationnelle, nous savons que exactement dans la valeur 3 il n'y a pas de solution. Qu'est-ce que cela signifie de ne pas avoir de solution? Voir le graphique lui-même, au point x=3 où la fonction h(x) serait nulle, a posséder function f(x) ne touche pas à ce point. C'est-à-dire qu'il n'y a pas de solution pour f(x) quand x=3, pas dans l'ensemble de Reais (ℝ) au moins.
La dernière fonction que nous allons voir et non des moindres, est peut-être la fonction la plus importante que nous aurions à comprendre.
●Fonction racine: La fonction root aussi est l'une des nombreuses fonctions qui ont une certaine contrainte d'existence. Comme vous l'avez peut-être déjà vu, il n'y a pas de racine carrée avec des nombres négatifs, seulement des nombres positifs.
Donc, pour déterminer le domaine de la fonction racine carrée, Nous serions com:
L'accent mis sur cette fonction est que la fonction racine carrée, étant l'inverse de la fonction quadratique, n'admet pas de valeurs négatives, car tout nombre élevé à le carré ou à tout exposant pair, sera TOUJOURS positif dans l'ensemble des Reais (ℝ). Le problème est que les racines carrées peuvent accepter des nombres négatifs, mais cela ne fait pas partie de l'ensemble des nombres réels (ℝ), car il n'y a pas de cohérence pour une telle solution, donc au fil des ans, les mathématiciens ont remarqué le début d'un autre ensemble mathématicien qui admet des nombres négatifs dans les racines, o Positionner dos Nombres complexes (ℂ). Nous expliquerons mieux le concept dans les pages quelle est la définition des nombres complexes.