Schrödingers Gleichungsanalyse
Anfänglicher Ansatz
Um eine klarere mathematische Vorstellung davon zu bekommen, was uns Eq.Schrödinger sagt, machen wir eine grundlegende Analyse der Gleichung, schließlich ist dies das zentrale Thema der Seite und um das Thema in Bezug auf die vorherige Seite nicht zu vage zu lassen und nicht zu tief auf dieser Seite, denn um die Vollständigkeit der Gleichung zu verstehen, ist der Begriff der Differential- und Integralrechnung , Multivariablenrechnung erforderlich , Partielle Differentialgleichungen und komplexe Zahlen.
Der Zweck hier ist nicht zu wissen, wie man die Gleichung selbst löst, sondern einen Ansatz zu finden Basic von Calculus oben gesagt, ohne sich in die darin enthaltenen Konzepte selbst zu vertiefen und ein wenig mehr in relevante Konzepte der elementaren Algebra und Präkalküle einzutauchen, um so zu bleiben klar möglich Wir werden Beispiele für jedes Konzept geben, um das Verständnis dessen zu erleichtern, was wir über die Erklärung von Gl. Schrödinger geben wollen.
1) Was ist Differential- und Integralrechnung?
Differential- und Integralrechnung, die wir ab jetzt nur noch Kalkül nennen, deckt alle ab Andere Berechnungen oben erwähnt. die Berechnung aufgetaucht in der Notwendigkeit, ein genaueres Werkzeug zu erstellen und Analytik über einige Phänomene, die in der Antike untersucht wurden, war einer derjenigen, die zu ihrer Entstehung beigetragen haben, Isaac Newton, wie wir in der Review of Mechanics erwähnt haben und ein anderer auch das beigetragen für Calculus war neben Newton Leibniz.
Eines dieser Bedürfnisse wurde bei der Untersuchung von Himmelskörpern von Newton in seiner Gravitationstheorie und seinen 3 Gesetzen der Mechanik verwendet. Das Problem war ... Wie kann ich Körper, die sich in ständiger Bewegung relativ zueinander befinden, einfach mit Algebra messen? Denken Sie darüber nach, wie kompliziert es wäre, die Bewegung eines Sterns zu beschreiben, wenn er jeden Tag seine Position ändert und Sie jeden Tag Geräte neu kalibrieren müssen, wiederholen Sie die folgenden Berechnungen ... Die herkömmliche Algebra hat diese und viele andere Probleme einfach nicht gemeistert war ein Bewegung eines Körpers, nicht mit der gleichen Präzision und in einigen Fällen hatte es keine Lösung, was genau das war, was Newton tun wollte. Newton begann dann, sich mit Mathematik zu beschäftigen und gefunden etwas Fantastisches und haben einen extrem geometrischen und leicht zu erkennenden Charakter.
Das erste Konzept, das uns im Calculus-Kurs beigebracht wird, ist das Konzept von Limit ! In didaktischer Weise nenne ich diesen Operator "Aproximometer".
Ich weiß, was Sie jetzt denken müssen … „Limit?🤨Operator?😣. Beruhigen Sie sich! Lassen Sie uns zunächst erklären, was ein Operator in der Mathematik allgemein bedeutet. Verstehen Sie Operator einfach als algebraisches Werkzeug zum Manipulieren von Werten, und in einigen Fällen "Parameter". In der Algebra haben wir 4 bekannte elementare Operatoren , mit denen Sie bereits mehr als vertraut sind.
a) Wir haben den SUM-Operator , und Ihre Notation ist (+): Zum Beispiel:
Wir nehmen einen Wert irgendein A und irgendein anderer Wert B und wir operieren (manipulieren sie...) durch eine Summenregel (assoziieren/verknüpfen), was uns als Ergebnis einen anderen Wert C liefert. Beispiel
ODER
Die gleiche Analogie kann mit den restlichen Operatoren gemacht werden, die Sie bereits kennen, Operator (Subtraktion (-) ; Division (÷) und Multiplikation (×)) und ihre jeweilig Regeln für den „Umgang“ mit Werten und Parametern.
Anders als die elementaren Algebra-Operatoren operiert der Limit-Operator nicht mit Zahlen, sondern mit Werten von Funktionen ! Ja!😂 Lassen Sie uns dieses Konzept von nun an wieder sehen, eines der Konzepte, wenn nicht das wichtigste in ganz Calculus.
b) Funktionen: Ich glaube, dass viele von Ihnen, als Sie anfingen, sich mit diesem Thema in Mathematik zu beschäftigen, es nicht so ernst genommen haben, wie Sie sollten. Lassen Sie uns einen guten Pinselstrich über das Konzept der Funktion und wichtige Konzepte machen im Fach verstanden werden. Beginnend mit der Domino-Idee einer Funktion (𝔻).
Ich weiß vorerst, dies zu überprüfen anscheinend wird es mit der Erklärung von Gl.Schrödinger keinen Sinn machen. Glauben Sie mir, es wird viel bewirken, weil wir nicht das Ziel haben, zu wissen, wie man rechnet numerisch die Gl. Aber um seine Implikationen zu verstehen und was es tatsächlich beschreibt, und ob es Ihnen gefällt oder nicht, das gesamte intuitive Konzept dreht sich um den Bereich der Wellenfunktion, über den wir so viel sprechen. Dazu müssen wir eine klare Vorstellung von diesem Konzept haben, um die Faktoren zu verstehen Sie sind im Ausdruck, der hinten Wir werden über eines der sprechen Themen über komplexe Zahlen.
Beginnen wir also damit, einige wichtige Konzepte zu definieren:
● Was ist Domino? Die Domäne einer Funktion ist nichts anderes als eine Menge von Werten, die die Lösung einer bestimmten Funktion erfüllen.
● Was ist eine Funktion? Es ist eine mathematische Darstellung, die wir aus einer Zuordnung von Werten von einem numerischen Satz zu einem anderen machen, wenn sie zu einem Satz von Werten manipuliert werden oder nicht. Operationen wie (Addition, Division, Wurzel usw.).
Lassen Sie uns einige Beispiele dafür geben, warum diese Konzepte überprüft wurden Bedeutung. Sehen wir uns zunächst 3 Arten von Funktionen an, um die Anwendung des Domänenstudiums zu veranschaulichen.
● Lineare Funktion (Eq.straight) :
Dies ist eine der einfachsten Funktionen, die wir in der Schule gelernt haben, die Funktion ersten Grades (Liniengleichung). Wir wissen, dass (a) und (b) Konstanten sind, d. h. Werte, die sich nicht ändern, und der einzige Parameter, der unterschiedliche Werte haben kann, ist unsere Variable (x). Um nun den Definitionsbereich dieser Funktion zu analysieren, müssen wir prüfen, ob die Funktion algebraische Einschränkungen erfordert. Speziell hierin gibt es keine Einschränkungen, da jeder Wert, den wir in (x) eingeben, eine Lösung haben wird. Wir werden die gebräuchlichste Notation verwenden, um Domänen darzustellen.
Das heißt, (x) ist in allen reellen Zahlen enthalten. Nehmen wir als Beispiel a = 1 und b = 0 an und zeigen diese Funktion in der Grafik. Für jeden Wert von (x) [Achse auf der Horizontalen] haben wir einen Wert, der der Achse (y) [Achse auf] zugeordnet ist vertikal].
● Rationale Funktion : Die Funktion rational ist eine andere Art von Funktion, die wir uns merken müssen, weil es eine Einschränkung gibt, für die wir keine Lösung haben.
Die rationale Funktion ist nichts anderes als eine Funktion, die aus zwei anderen Funktionen besteht, die durcheinander geteilt werden, mit der Einschränkung h(x) ≠ 0, weil es keine Lösung für Divisionen mit 0 gibt. Zum Verständnis sehen wir uns das Beispiel an:
Beachten Sie, dass f(x) aus zwei anderen Funktionen besteht. g(x) = x+3 und h(x) = x-3, wobei wir uns daran erinnern, dass wir als Division keine Division durch 0 haben können. Um also die zu finden Domain dieser Funktion (d. h. der Wertebereich, in dem die Funktion selbst eine Lösung hat) ist ...
Das bedeutet, dass der einzige Wert, den h(x) nicht annehmen kann, für den Nenner gilt Einschränkung einer rationalen Funktion, das heißt, dass wir nicht durch 0 teilen können, (x) kann jeden Wert außer 3 annehmen. Er muss von 3 verschieden sein. Wenn wir den Definitionsbereich schreiben, haben wir:
Die Analyse des Definitionsbereichs einer Funktion hilft uns zu erkennen, dass wir genau durch die Einschränkung der Existenz von Lösungen für die rationale Funktion wissen, dass es genau beim Wert 3 keine Lösung gibt. Was bedeutet es, keine Lösung zu haben? Siehe den Graphen selbst, an dem Punkt x=3, wo die Funktion h(x) auf Null gehen würde, die eigen Funktion f(x) berührt diesen Punkt nicht. Das heißt, es gibt keine Lösung für f(x), wenn x=3, zumindest nicht in der Menge von Reais (ℝ).
Die letzte Funktion, die wir sehen werden, ist nicht zuletzt die vielleicht wichtigste Funktion, die wir verstehen müssten.
● Stammfunktion: Die Funktion Quelle Auch ist eine von mehreren Funktionen, die eine gewisse Existenzbeschränkung haben. Wie Sie vielleicht schon gesehen haben, gibt es bei negativen Zahlen keine Quadratwurzel, sondern nur positive.
Um also den Definitionsbereich der Quadratwurzelfunktion zu bestimmen, wir würden sein mit:
Der Punkt, den wir bei dieser Funktion betonen möchten, ist, dass die Quadratwurzelfunktion, da sie eine Umkehrung der quadratischen Funktion ist, keine negativen Werte zulässt, da jede Zahl, die zum Quadrat oder zu einem beliebigen geraden Exponenten erhoben wird, in der Menge IMMER positiv ist von Real (ℝ) ). Das Problem ist, dass Quadratwurzeln negative Zahlen akzeptieren können, aber nicht Teil der Menge der reellen Zahlen (ℝ) sind, weil es darin keine Konsistenz für eine solche Lösung gibt, sodass Mathematiker im Laufe der Jahre den Beginn einer anderen Menge bemerkten wer negative Zahlen in Wurzeln zulässt, der einstellen von komplexen Zahlen (ℂ). Wir werden das Konzept auf den Seiten weiter erläutern, was die Definition komplexer Zahlen ist.