Análise da Equação de Schrödinger
Abordagem Inicial
Afim de dar uma noção mais clara matemática do que a Eq.Schrödinger nos diz, vamos fazer uma análise básica da equação, afinal este é o tema central do site e para não deixarmos o assunto muito vago com relação a página anterior e nem muito aprofundado nesta página, até porque para entender a completude da equação exige-se noção de Cálculo diferencial e Integral , Cálculos de Várias Variáveis , Equações Diferenciais Parciais e Números Complexos.
O propósito aqui não é saber resolver a equação em si, e sim fazer uma abordagem básica do Cálculo dito acima, sem aprofundar nos conceitos nele propriamente e aprofundando um pouco mais em conceitos pertinentes da álgebra elementar e pré-Cálculo, para ficar o mais claro possível estaremos dando exemplos de cada conceito para facilitar a compreensão do que queremos dar sobre a explicação da Eq.Schrödinger.
1º) O que é o Cálculo Diferencial e Integral?
O Cálculo Diferencial e Integral, que chamaremos apenas de Cálculo em diante, abrange todos o outros Cálculos que citamos anteriormente. O cálculo surgiu na necessidade da criação de uma ferramenta mais precisa e analítica sobre alguns fenômenos que estavam sendo estudados na antiguidade, um dos que contribuíram para sua criação foi Isaac Newton, como citamos na Revisão de Mecânica e outro também que contribuiu para o Cálculo juntamente com Newton foi Leibniz.
Uma dessas necessidades foi utilizada no estudo de corpos celestes por Newton na sua teoria da Gravitação e suas 3 leis da Mecânica. O problema era... Como posso medir corpos que estão em constante movimento relativos uns aos outros simplesmente com uso de álgebra? Pense bem na complicação que seria descrever o movimento de um astro se ele muda sua posição todos os dias e todos os dias ter que recalibrar equipamentos, refazer os cálculos seguintes... A álgebra convencional simplesmente não dava conta destes problemas e de vários outros quando se tratava de um movimento de um corpo qualquer, não com a mesma precisão e em alguns casos não tinha nem solução, o que era exatamente o que Newton queria fazer. Newton começou então a trabalhar na matemática e descobriu algo fantástico e têm uma característica extremamente geométrica e fácil de vermos.
O primeiro conceito que nos é ensinado no curso de Cálculo é o conceito de Limite! De forma didática eu chamo este operador de "Aproximômetro".
Sei o que você deve estar pensando agora... "Limite?🤨Operador?😣. Calma! Vamos começar explicar o que significa um operador de forma genérica em matemática. Entenda operador simplesmente como uma ferramenta algébrica para manipular valores, e em alguns casos "parâmetros". Na álgebra temos 4 operadores elementares muito conhecidos que você ja está mais que familiarizado.
a) Temos o operador de SOMA, e sua notação é (+): Por exemplo:
Pegamos um valor qualquer A e outro valor qualquer B e operamos eles (manipulamos eles...) por uma regra de soma (associar/ juntar) que nos deu como resultado um outro valor C. Por exemplo
OU
A mesma analogia pode ser feita com os restantes dos operadores que você ja conhece, operador (Subtração (-) ; Divisão (÷) e Multiplicação (×)) e suas respectivas regras de "manipulação" dos valores e parâmetros.
Diferentemente dos operadores elementares da álgebra, o operador de Limite não opera com números simplesmente, mas sim com valores de funções! Sim!😂 Vamos ver novamente este conceito agora em diante, um dos conceitos se não o mais importante de todo o Cálculo.
b) Funções: Acredito que muitos de vocês quando começaram a estudar este tema em matemática não levaram tão a sério como deveriam. Vamos fazer uma pincelada boa no conceito de função e conceitos importantes a serem entendidos dentro do assunto. A começar com a ideia de Domíno de uma função (𝔻).
Sei que por agora revisar isso aparentemente não terá sentido algum com a explicação da Eq.Schrödinger. Acredite, fará e muita até porque não temos o objetivo de saber calcular numericamente a Eq. Mas sim de entender suas implicações e o que ele de fato esta descrevendo, e querendo ou não todo o conceito intuitivo gira entorno do Domínio da função de onda que tanto falamos. Para isso temos que ter uma noção clara deste conceito para entendermos fatores que estão na expressão, que posteriormente falaremos de um dos tópicos sobre Números Complexos.
Então vamos começar a definir alguns conceitos importantes:
● O que é o Domíno? Domínio de uma função nada mais é que um conjunto de valores que satisfazem a solução de uma determinada função.
● O que é uma Função? É uma representação matemática que fazemos de uma associação de valores de um comjunto numérico a outro, quando manipulados ou não a um conjunto de operações, tais como (soma, divisão, radiciação, etc...).
Vamos da alguns exemplos do porque revisar estes conceitos têm importância. A começar, vamos ver 3 tipos de funções para poder exemplificar a aplicação do estudo de domínios.
● Função Linear (Eq.reta):
Esta é uma das funções mais simples que aprendemos na escola, função do primeiro grau (equação da reta). Sabemos que (a) e (b) são constantes, ou seja, valores que não se alteram e o único parâmetro que pode ter valores distintos é a nossa variável (x). Agora para fazermos a análise do domínio dessa função temos que olhar se a função exige alguma restrição algébrica. Nesta especificamente não há restrições pois qualquer valor que colocarmos em (x) haverá solução. Iremos usar a notação mais comum para representar os domínios.
Ou seja, (x) esta contido em todos os números Reais. Para exemplificarmos vamos assumir a = 1 e b = 0 e vamos mostrar essa função no gráfico. Para qualquer valor de (x) [eixo na horizontal] teremos um valor associado ao eixo (y) [eixo na vertical].
● Função Racional: A função racional é outro tipo de função que temos que relembrar pois nela há uma restrição no qual não teremos solução.
A função racional nada mais é que uma função composta de outras duas funções divididas uma pela outra, com a restrição de h(x) ≠ 0, pois não existe solução para divisões com 0. Para entendermos vejamos o exemplo:
Perceba que a f(x) é composta por outras duas funções. g(x) = x+3 e h(x) = x-3, lembrando que sendo uma divisão não podemos ter uma divisão por 0. Então para acharmos o domínio dessa função (ou seja, a faixa de valores no qual a própria função tenha solução) é...
Isto significa que o único valor que h(x) não pode assumir para que o denominador respeite a restrição de uma função racional, ou seja, que não podemos dividir por 0, (x) pode assumir qualquer valor exceto 3. Tem que ser diferente de 3. Escrevendo o domínio, temos:
A análise do domínio de uma função nos ajuda a perceber que exatamente pela restrição de existência de soluções para a função racional, sabemos que exatamente no valor 3 não há solução. O que significa não ter solução? Veja pelo próprio gráfico, no ponto x=3 onde a função h(x) iria zerar, a própria função f(x) não toca naquele ponto. Isto é, não há solução para f(x) quando x=3, não no conjunto dos Reais (ℝ) pelo menos.
A ultima função que vamos ver e não menos importante, é a função de mais importância talvez que teríamos que ter compreender.
● Função Raiz: A função raiz também é uma das várias funções que tem uma certa restrição de existência. Como vocês ja devem ter visto não existe raiz quadrada com números negativos, somente positivos.
Então para determinarmos o domínio da função raiz quadrada, ficaríamos com:
A questão de querermos enfatizar essa função é que, a função raiz quadrada, por ser uma inversa da função quadrática, não admite valores negativos, pois qualquer número elevado ao quadrado ou a qualquer expoente par, vai ser SEMPRE positivo no conjunto dos Reais (ℝ). O problema é que as raízes quadradas podem sim aceitar números negativos, mas não faz parte do conjunto dos números Reais (ℝ), pois nele não há consistência para tal solução, então com o passar dos anos os matemáticos perceberam o início de um outro conjunto matemático que admite números negativos em raizes, o conjunto dos Números Complexos (ℂ). Explicaremos melhor o conceito nas páginas qual é a definição de números complexos.