פונקציית הגל הקוונטי
עד כה, יש לנו מושג טוב מהי פונקציית גל ומה היא מתארת. העניין הוא שפונקציית הגל שראינו קודם לכן בסקירת האדוות היא לא בדיוק זהה לפונקציית הגל איתה אנחנו הולכים להתמודד עכשיו. ראשית עלינו להבין שני דברים.
פונקציית הגל הקוונטי אינה גל פיזיקלי המתפשט דרך מדיום בחלל. יש אולי בלבול לציבור ההדיוט בעניין זה.
עלינו להבהיר את הדברים הבאים. כפי שאמרנו בפרקים הקודמים, הפרשנות שאנו מתארים כאן לגבי פונקציית הגל הקוונטי עוקבת אחר מודל הפרשנות המקובל ביותר בקהילה המדעית, הפרשנות של קופנהגן. מודל זה מתאר את פונקציית הגל הקוונטי כפונקציה הסתברותית . כלומר, לפונקציית הגל הקוונטי יש יותר אופי מתמטי במכניקת הקוונטים מאשר פיזיקלי. למה זה? ובכן, בקיצור, התיאוריה תואמת את הנתונים הניסויים והיא די מדויקת.
אם אנחנו הולכים לנתח, למשל, את הניסוי של יאנג (חריץ כפול) ואת מושגי האפקט הפוטואלקטרי, אנחנו יודעים של"חלקיקים" בקנה מידה קטן ביותר כאשר הם מתפשטים בחלל אין התנהגות מוגדרת, (כאשר המושג של חוסר הוודאות של היינסנברג נכנס). אם לוקחים זאת בחשבון, בתוספת הרעיונות שכאשר אותם גופים קוונטיים נזרקים על שני חריצים הם מציגים התנהגות גלים (מודל התאבכות), אובייקט מתמטי סביר מאוד למודל של תופעות אלו יהיה להתייחס לחומר אלמנטרי כגלים בצורת גלים. מתפשטים ובמקרים מסוימים כחלקיקים כאשר הם מקיימים אינטראקציה עם גופים אחרים (מודל גל של חומר). כאשר לכל חומר יש אורך גל, וכתוצאה מכך תדר מסוים הקשור באופן מהותי, כפי שראינו בנושא.
במובן זה שלפונקציית הגל במכניקת הקוונטים יש מידול מתמטי המבוסס על נתונים אמפיריים (שבעזרתם היא נצפית במעבדה) שאינו מייצג גל מכני כגון צליל, רטט במיתר וכו'. (שבהם הם אכן תופעות פיזיקליות ולא רק מתמטיות), אלא כגל הסתברויות , שבו בתוך טווח מסוים (אזור מסוים במרחב) נוכל לקבל מושג מסוים על מיקומו של חומר אטומי או תת-אטומי. עם סבירות גבוהה יותר או נמוכה יותר!
להבנה טובה יותר ראה את פונקציית הגל הקוונטי למטה.
פונקציית גלי סינוס המייצגת חלקיק חופשי
בואו נבין את זה חלק אחר חלק. ראשית, כפי שאנו כבר יודעים, משוואת שרדינגר דורשת פתרונות מורכבים. אם תשימו לב למשוואה תשימו לב שלמטה בתיאור היא נאמרת כפונקציה של גלי סינוס. אבל איפה פונקציית הסינוס?
אם הבנת את הסקירה של מספרים מרוכבים קודם לכן בניתוח של Eq.Schrödinger, המונח האקספוננציאלי הוא אחד הטיעונים המורכבים, הנקראים הנוסחה של אוילר. ביטויי הסינוס והקוסינוס כלולים בביטוי זה.
המונח האקספוננציאלי מבוטא באופן הבא:
אנו יכולים לבטא את האקספוננציאלי באופן הבא:
שבו נוכל לצמצם את המשוואה ל: (לפי הכלל הבסיסי של מכפלת החזקות עם אותו בסיס)
כך הוכיח עד כה מדוע "השמטת" הטיעון הטריגונומטרי הסינוסואידי בפונקציית הגל הקוונטי, ועוד הוכחה אחת לכך שהפתרונות שלו מורכבים. הדגמה זו היא רק בשבילך הקורא להבין את המונחים המעורבים ולא בהכרח לדעת כיצד לחשב אותם.
מה שחשוב לדעת על פונקציית הגל הקוונטי הוא שהיא כשלעצמה לא מייצגת משמעות פיזיקלית כאמור, מה שבאמת מעניין אותנו בה זה להגדיר את ה"גודל" שלה או "ההסתברות המקסימלית" שלה שאנחנו אומרים מתמטית, שלה "נורמה".
הנורמה של פונקציית הגל הכרחית, כי כפי שאנו אומרים הפתרונות שלה מורכבים, הם מכילים תוצאות שליליות. אבל מבחינה מתמטית ופיזית לא ניתן לקבל הסתברות שלילית. ההטלה הזו שאנו מבצעים לפונקציית הגל היא בדיוק כדי להיות מסוגלים לחלץ את התוצאות החיוביות שיש בהן הגיון פיזי.
שימו לב שנורמת הפונקציה לא מציגה את אותו מכפלה של Ψ(x,t), אלא איבר עם (*). מונח זה הוא מה שראינו בסקירה של פונקציה מורכבת הנקראת "קומפלקס מצומד" והוא מתבטא באופן הבא:
אפשר לומר שהתסביך המצומד הוא החלק השלילי של הפתרונות המורכבים ודווקא זה שכאשר אנו מיישמים את הנורמה מתבטלת פונקציית הגל הקוונטי, שבה נותר לנו הביטוי הבא:
כעת יש לנו פתרון פיזיקלי סביר, מכיוון שהמשרעת של הגל הקוונטי לעולם לא יכולה להיות שלילית, מכיוון שהוא מכיל כוח זוגי, זה מרמז שתמיד תהיה לנו הסתברות P(x) ≥ 0 (גדולה או שווה לאפס) . זה אכן הגיוני כי אין דרך שחלקיק לא יתקיים בחלל. במילים אחרות, ההסתברות שחלקיק הוא P(x) = 0 תקפה רק באזור מסוים. של החלל שאולי אנחנו מנתחים, אבל לא עבור כל החלל עצמו. הטלה תיאורטית זו שיצרנו את פונקציית הגל הקוונטי היא מה שאנו מכנים נורמליזציה של פונקציית הגל , כאשר אנו דורשים באופן תיאורטי שההסתברות לפונקציית הגל חייבת להיות בין:
כלומר, ההסתברות למצוא חלקיק כלשהו באזור במרחב תהיה מקסימלית אם |Ψ(x,t)|² = 1, שווה ערך ל-100% ואם | Ψ(x,t)|² = 0 ההסתברות היא אפס, שווה ערך ל-0%. באופן זה, לפונקציית הגל הקוונטי מפסיקה להיות משמעות מתמטית בלבד ולמעשה יש לה משמעות פיזיקלית לפי פרשנות זו של נורמת פונקציית הגל. רעיון הסתברותי זה של פונקציית הגל היה ניתן על ידי מקס בורן והוא המקובל ביותר עד היום על ידי הקהילה המדעית כיצד לפרש את פונקציית הגל הקוונטי. אנו קוראים לפרשנות זו "אמנת קופנגן". יש עוד כמה פרשנויות לפונקציית הגל הקוונטי, אבל לא נוח לנו לראות אחרים מלבד זה שהוא החשוב ביותר ב- זמן.